Pembahasan Limit SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 268

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = ax+b $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2-x}{xf(x)} = -\frac{1}{2} $, maka $ f(1) = .... $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Limit bentuk tak tentu
Jika $ g(k) = 0 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g(x)}{f(x)} = c \, $ (hasilnya konstanta), maka $ f(k) = 0 $. Bentuk hasil limit $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{0}{0} $ disebut bentuk tak tentu.
*). Penerapan turunan pada limit bentuk tak tentu (dalil L'Hospital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g(x)}{f(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{g^\prime (x)}{f^\prime (x)} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2-x}{xf(x)} = -\frac{1}{2} $ dengan pembilang bernilai nol ketika disubstitusikan $ x = 2 $ adalah bentuk tak tentu (agar hasilnya konstanta), sehingga $ f(2) = 0$ dengan $ f(x) = ax + b $.
$ f(2) = 0 \rightarrow 2a + b = 0 \rightarrow b = -2a \, $ ....(i).
*). Menyelesaikan limitnya dengan dalil L'Hospital :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2-x}{xf(x)} & = -\frac{1}{2} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2-x}{x(ax+b)} & = -\frac{1}{2} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{2-x}{ax^2 + bx} & = -\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{-1}{2ax + b } & = -\frac{1}{2} \\ \frac{-1}{2a.2 + b } & = -\frac{1}{2} \\ \frac{-1}{4a + b } & = -\frac{1}{2} \\ 4a + b & = 2 \, \, \, \, \, \, \text{....dari(i)} \\ 4a + (-2a) & = 2 \\ 2a & = 2 \rightarrow a = 1 \end{align} $
Pers(i): $ b = -2a = -2.(1) = -2 $.
Fungsinya amenjadi : $ f(x) = ax + b = x -2 $.
Sehingga nilai $ f(1) = 1 - 2 = -1 $.
Jadi, nilai $ f(1) = -1 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar