Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN 2017 Matematika Dasar kode 268

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P adalah titik tengah CG dan Q adalah titik tengah AP, seperti pada gambar. Jika panjang rusuk kubus tersebut adalah 6 cm, maka jarak Q ke H adalah .... cm

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan Kosinus segitiga ABC :
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB.AC \cos A \rightarrow \cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC}{2.AB.AC} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang beberapa sisi :
-). Panjang $ AH = 6\sqrt{2} \, $ (diagonal bidang/sisi)
-). Pada segitiga HGP :
$ HP=\sqrt{HG^2+GP^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45} $
-). Pada segitga APC :
$ AP = \sqrt{AC^2+CP^2}=\sqrt{(6\sqrt{2})^2+3^2} = \sqrt{72+9} = \sqrt{81} = 9 $
-). Q ditengah-tengah AP sehingga :
$ AQ = \frac{1}{2}AP = \frac{1}{2}.9 = \frac{9}{2} $
*). Menentukan $ \cos A $ dengan aturan kosinus :
-). Pada segitiga AQH :
$\cos A = \frac{AH^2+AQ^2-HQ^2}{2.AH.AQ} $
-). Pada segitiga APH :
$\cos A = \frac{AH^2+AP^2-HP^2}{2.AH.AP} $
*). Nilai $ \cos A $ dari kedua segitiga di atas sama, sehingga :
$\begin{align} \frac{AH^2+AP^2-HP^2}{2.AH.AP} & = \frac{AH^2+AQ^2-HQ^2}{2.AH.AQ} \\ \frac{AH^2+AP^2-HP^2}{AP} & = \frac{AH^2+AQ^2-HQ^2}{AQ} \\ \frac{(6\sqrt{2})^2+9^2-(\sqrt{45})^2}{9} & = \frac{(6\sqrt{2})^2+\left(\frac{9}{2}\right)^2-HQ^2}{\frac{9}{2}} \\ \frac{72+81-45}{1} & = \frac{72+\frac{81}{4}-HQ^2}{\frac{1}{2}} \\ 108 & = 2(72+\frac{81}{4}-HQ^2) \\ 108 & = 144+\frac{81}{2}-2HQ^2 \\ 2HQ^2 & = \frac{153}{2} \\ HQ^2 & = \frac{153}{4} \\ HQ & = \sqrt{\frac{153}{4}} = \sqrt{\frac{9 \times 17}{4}} = \frac{3}{2}\sqrt{17} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{3}{2}\sqrt{17} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar