Cara 2 Pembahasan Lingkaran UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran $ L_1 \equiv x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 $ serta berpusat di garis $ g \equiv x - 2y = 5 $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 5 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 10 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 5 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 10 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkas Lingkaran:
*). Persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran $L_1 $ dan $ L_2 $ adalah $ L_1 + \lambda L_2 $ atau $ L_2 + \lambda L_1 $
(bentuk seperti ini disebut berkas lingkaran).
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
dengan pusat lingkaran : $(a,b) = (-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran $ L_1 \equiv x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 $
$ \begin{align} L_2 + \lambda L_1 & = 0 \\ (x^2+y^2 + 2x - 6y +6) + \lambda (x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 ) & = 0 \\ (1+\lambda)x^2 + (1 + \lambda)y^2 + (2-2\lambda)x - (6 + 2\lambda)y + (6 - 2\lambda) & = 0 \\ x^2 + y^2 + \frac{2-2\lambda}{1+\lambda}x - \frac{6 + 2\lambda}{1+\lambda}y + \frac{6 - 2\lambda}{1+\lambda} & = 0 \end{align} $
Artinya titik pusat lingkarannya :
$ a = -\frac{1}{2}A = -\frac{1}{2} \frac{(2-2\lambda)}{(1+\lambda)} = \frac{-1+\lambda}{1+\lambda} $
$ b = -\frac{1}{2}B = -\frac{1}{2}. - \frac{(6 + 2\lambda)}{(1+\lambda)} = \frac{3 + \lambda}{1+\lambda} $
*). Substitusi titik pusat ke garis $ x - 2y = 5 $ (pusat ada di garis)
$\begin{align} x - 2y & = 5 \\ \frac{-1+\lambda}{1+\lambda} - 2. \frac{3 + \lambda}{1+\lambda} & = 5 \\ -1+\lambda - 2(3 + \lambda) & = 5(1+\lambda) \\ -1+\lambda - 6 - 2\lambda & = 5+ 5\lambda \\ \lambda & = -2 \end{align} $
*). Substitusi $ \lambda = -2 $ ke berkas lingkaran :
$\begin{align} (x^2+y^2 + 2x - 6y +6) + \lambda (x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 ) & = 0 \\ (x^2+y^2 + 2x - 6y +6) + (-2). (x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 ) & = 0 \\ -x^2 -y^2 + 6x - 2y + 10 & = 0 \\ x^2 +y^2 - 6x + 2y - 10 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya adalah $ x^2 + y^2 - 6x + 2y -10 = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar