Pembahasan Pertidaksamaan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $|x|+|x-2| > 3 $ adalah ....
A). $ x < -1 \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
B). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
C). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
D). $ x < -1 \, $ atau $ x > 3 $
E). $ x < -\frac{3}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Bentuk Mutlak :
*). Menyelesaikan pertidaksamaan bentuk mutlak salah satu caranya menggunakan definisi bentuk mutlak.
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Definisi nilai mutlak masing-masing :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text{ untuk } x < 0 \end{array} \right. $
$ |x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & , \text{ untuk } x \geq 2 \\ -(x-2) & , \text{ untuk } x < 2 \end{array} \right. $
*). Untuk memudahkan menyelesaikan pertidaksamaannya, kita bagi menjadi tiga batasan (daerah) berdasarkan definisi nilai mutlak di atas.
 

*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan daerahnya :
-). daerah I : $ x < 0 $
Berlaku $ |x| = -x \, $ dan $ |x-2| = -(x-2) = -x + 2 $
$\begin{align} |x|+|x-2| & > 3 \\ -x+ (-x + 2) & > 3 \\ -2x & > 1 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -1, tanda dibalik)} \\ x & < -\frac{1}{2} \end{align} $
$ HP1 = \{ x < 0 \} \cap \{ x < -\frac{1}{2} \} = \{ x < -\frac{1}{2} \} $
-). daerah II : $ 0 \leq x < 2 $
Berlaku $ |x| = x \, $ dan $ |x-2| = -(x-2) = -x + 2 $
$\begin{align} |x|+|x-2| & > 3 \\ x+ (-x + 2) & > 3 \\ 2 & > 3 \, \, \, \, \, \, \text{(SALAH)} \end{align} $
Artinya tidak ada $ x $ yang memenuhi daerah II ini.
-). daerah III : $ x \geq 2 $
Berlaku $ |x| = x \, $ dan $ |x-2| = x - 2 $
$\begin{align} |x|+|x-2| & > 3 \\ x+ (x - 2) & > 3 \\ 2x & > 5 \\ x & > \frac{5}{2} \end{align} $
$ HP2 = \{ x \geq 2 \} \cap \{ x > \frac{5}{2} \} = \{ x > \frac{5}{2} \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari solusi ketiga daerah :
$\begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 \\ & = \{ x < -\frac{1}{2} \} \cap \{ x > \frac{5}{2} \} \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < -\frac{1}{2} \} \, $ atau $ \{ x > \frac{5}{2} \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar