Pembahasan Lingkaran UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran $ L_1 \equiv x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 $ serta berpusat di garis $ g \equiv x - 2y = 5 $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 5 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 10 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 5 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 10 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
dengan pusat lingkaran : $(a,b) = (-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B) $
*). Langkah-langkah menentukan titik potong dua lingkaran :
1). Kurangkan kedua persamaan, kita peroleh persamaan garis
2). Substitusikan garis yang diperoleh ke salah satu lingkaran, kita dapatkan salah satu nilai variabelnya
3). Substitusikan nilai variabel ke garis, kita peroleh kedua titik potong kedua lingkaran.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik pusat ada di garis $ x - 2y = 5 $, substitusikan titik pusatnya :
$\begin{align} (x,y) = (-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B) \rightarrow x - 2y & = 5 \\ \text{(kali 2 ) } \, \, \, -\frac{1}{2}A - 2.(-\frac{1}{2}B) & = 5 \\ -A +2B & = 10 \, \, \, \, \, \, \, ...(i) \end{align} $
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran, eliminasi :
$\begin{array}{cc} x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 & \\ x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 & - \\ \hline 4x - 4y + 8 = 0 & \\ x - y + 2 = 0 & \end{array} $
Persamaan garisnya : $ x - y + 2 = 0 \rightarrow y = x + 2 $
-). Substitusi garis ke $ L_1 $ :
$ \begin{align} x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 & = 0 \\ x^2+(x+2)^2 - 2x - 2(x+2) - 2 & = 0 \\ 2x^2 - 2 & = 0 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \\ x = 1 \rightarrow y & = x + 2 \\ y & = 1 + 2 = 3 \\ x = -1 \rightarrow y & = x + 2 \\ y & = -1 + 2 = 1 \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran adalah $(1,3) $ dan $ (-1,1) $.
*). Lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ melalui dua titik $(1,3) $ dan $ (-1,1) $
$\begin{align} (1,3) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 1^2 + 3^2 + A.1 + B.3 + C & = 0 \\ A + 3B + C & = -10 \, \, \, \, ...(ii) \\ (-1,1) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ (-1)^2 + 1^2 + A.(-1) + B.1 + C & = 0 \\ -A + B + C & = -2 \, \, \, \, ...(iii) \end{align} $
*). Eliminasi pers(ii) dan pers(iii) :
$\begin{array}{cc} A + 3B + C = -10 & \\ -A + B + C = -2 & - \\ \hline 2A + 2B = -8 & \\ A + B = -4 & (iv) \end{array} $
*). Eliminasi pers(iv) dan pers(i) :
$\begin{array}{cc} -A +2B = 10 & \\ A + B = -4 & + \\ \hline 3B = 6 & \\ B = 2 & \end{array} $
Pers(iv) : $ A + B = -4 \rightarrow A + 2 = -4 \rightarrow A = -6 $
Pers(iii): $ -A + B + C = -2 \rightarrow -(-6) + 2 + C = -2 \rightarrow C = -10 $
Sehingga persamaan lingkarannya adalah :
$ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
yaitu $ x^2 + y^2 - 6x + 2y -10 = 0 $.
Jadi, persamaannya adalah $ x^2 + y^2 - 6x + 2y -10 = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar