Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui dua bilangan real positif $ x $ dan $ y $. Jika $ x + 2y = 20 $, maka nilai maksimum dari $ x^2y $ adalah .....
A). $ \frac{16000}{9} \, $ B). $ \frac{16000}{27} \, $ C). $ \frac{4000}{27} \, $ D). $ \frac{1600}{27} \, $ E). $ \frac{400}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Terapan Turunan
*). Fungsi $ f(x) $ akan mencapai maksimum atau minimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun fungsinya :
$ x + 2y = 20 \rightarrow y = 10 - \frac{1}{2}x \, $ ....(i)
Substitusi pers(i) ke $ x^2y $ :
$\begin{align} x^2y & = x^2 (10 - \frac{1}{2}x) \\ f(x) & = 10x^2 - \frac{1}{2}x^3 \\ f^\prime (x) & = 20x - \frac{3}{2}x^2 \end{align} $
*). Syarat nilai maks/min : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 20x - \frac{3}{2}x^2 & = 0 \\ x(20 - \frac{3}{2}x) & = 0 \\ x = 0 \vee 20 - \frac{3}{2}x & = 0 \\ x = 0 \vee x & = \frac{40}{3} \end{align} $
Bentuk $ x^2y $ akan maksimum saat $ x = \frac{40}{3} $,
Sehingga $ y = 10 - \frac{1}{2}x = 10 - \frac{1}{2} \times \frac{40}{3} = \frac{10}{3} $.
*). Menentukan Nilai maksimum bentuk $ x^2y $ :
$\begin{align} x^2y & = \left( \frac{40}{3} \right)^2 . \frac{10}{3} \\ & = \frac{16000}{27} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{16000}{27} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar