Pembahasan Barisan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan bilangan-bilangan positif $ x_1 $ dan $ x_2 $. Jika $ 12, x_1, x_2 $ membentuk barisan aritmetika dan $ x_1, x_2, 4 $ membentuk barisan geometri, maka $ x_1 + x_2 = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 15 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Aritmetika dan Geometri :
*). Barisan artimetika memiliki selisih sama antara dua suku berdekatan.
Jika $ x , y , z \, $ barisan aritmetika, maka $ 2y = x + z $.
*). Barisan geometri memiliki perbandingan sama antara dua suku berdekatan.
Jika $ x , y , z \, $ barisan geometri, maka $ y^2 = x.z $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). $ 12, x_1, x_2 $ membentuk barisan aritmetika
maka $ 2x_1 = 12 + x_2 \rightarrow x_1 = 6 + \frac{1}{2}x_2 \, $ ....(i)
-). $ x_1, x_2, 4 $ membentuk barisan geometri
maka $ x_2^2 = 4.x_1 \, $ ....(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} x_2^2 & = 4.x_1 \\ x_2^2 & = 4.(6 + \frac{1}{2}x_2) \\ x_2^2 & = 24 + 2x_2 \\ x_2^2 - 2x_2 - 24 & = 0 \\ (x_2 + 4)(x_2 - 6) & = 0 \\ x_2 = -4 \vee x_2 & = 6 \end{align} $
Karena $ x_2 $ positif, $ x_2 = 6 $ yang memenuhi.
Pers(i) : $ x_1 = 6 + \frac{1}{2}x_2 = 6 + \frac{1}{2} . 6 = 6 + 3 = 9 $
Sehingga nilai $ x_1 + x_2 = 9 + 6 = 15 $.
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = 15 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar