Pembahasan Persamaan EkspoLog UTUL UGM 2017 Matematika Dasar Kode 823

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ u = 2^x $ dan $ {}^u \log (2^{2x}-2^{x-2}) = 3 $ , maka $ 3^x = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{9} \, $ E). $ \frac{1}{27} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Definisi Logaritma
$ {}^x \log y = z \rightarrow y = x^z $
*). sifat dan persamaan Eksponen :
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} , \, a^{m.n} = (a^m)^n $ dan $ a^f(x) = a^c \rightarrow f(x) = c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Karena $ u = 2^x $, maka nilai $ u \neq 0 $.
*). Menentukan nilai $ x $ dengan substitusi $ 2^x = u $ .
$\begin{align} {}^u \log (2^{2x}-2^{x-2}) & = 3 \, \, \, \, \, \, \text{(definisi log)} \\ 2^{2x}-2^{x-2} & = u^3 \, \, \, \, \, \, \text{(sifat ekspo.)} \\ (2^x)^2 - \frac{2^{x}}{2^2} & = u^3 \\ u^2 - \frac{u}{4} & = u^3 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4u^2 - u & = 4u^3 \\ 4u^3 - 4u^2 + u & = 0 \\ u(4u^2 - 4u + 1) & = 0 \\ u(2u-1)^2 & = 0 \\ u = 0 \vee u & = \frac{1}{2} \end{align} $
yang memenuhi $ u = \frac{1}{2} $.
Sehingga : $ u = \frac{1}{2} \rightarrow 2^x = 2^{-1} \rightarrow x = -1 $.
*). Menentukan nilai $ 3^x $ :
$ \begin{align} 3^x = 3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3} \end{align} $ .
Jadi, nilai $ 3^x = \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar