Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika persamaan $ x^2 - 4x + k - 1 = 0 $ mempunyai akar-akar real $ \alpha $ dan $ \beta $, maka nilai $ k $ yang memenuhi $ \frac{1}{\alpha ^2}+ \frac{1}{\beta ^2 } < 1 $ adalah ....
A). $ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ k > \sqrt{17} $
B). $ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ \sqrt{17} < k < 5 $
C). $ k < -\sqrt{18} \, $ atau $ k > \sqrt{18} $
D). $ k < -\sqrt{18} \, $ atau $ \sqrt{18} < k < 5 $
E). $ \sqrt{17} < k < 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK) :
*). Misalkan PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
*). Operasi akar-akar :
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \alpha.\beta = \frac{c}{a} $
$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - 4x + k - 1 = 0 $
$ a = 1, b = -4 , c = k -1 \, $ dengan akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
*). Operasi akar-akar :
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} = \frac{-(-4)}{1} = 4 $
$ \alpha . \beta = \frac{c}{a} = \frac{k - 1}{1} = k - 1 $
$ \begin{align} \alpha^2 + \beta^2 & = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \\ & = (4)^2 - 2(k-1) \\ & = 16 - 2k + 2 \\ & = 18 - 2k \\ \alpha^2 . \beta^2 & = (\alpha . \beta )^2 \\ & = (k-1)^2 \end{align} $
*). Menyelesaikan Soalnya :
$ \begin{align} \frac{1}{\alpha ^2}+ \frac{1}{\beta ^2 } & < 1 \\ \frac{\alpha ^2 + \beta ^2}{\alpha ^2. \beta ^2 } & < 1 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} & < 1 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} - 1 & < 0 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} - \frac{(k-1)^2}{(k-1)^2} & < 0 \\ \frac{18 - 2k}{(k-1)^2} - \frac{k^2 - 2k + 1}{(k-1)^2} & < 0 \\ \frac{-k^2 + 17}{(k-1)^2} & < 0 \end{align} $
Akar-akar pembilang dan penyebutnya :
$ -k^2 + 17 = 0 \rightarrow k = \pm \sqrt{17} $
$ (k-1)^2 = 0 \rightarrow k = 1 $
Garis bilangannya :
 

Karena yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya :
$ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ k > \sqrt{17} $ .
Jadi, HPnya $ k < -\sqrt{17} \, $ atau $ k > \sqrt{17} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar