Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen UM UGM 2008 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Pertaksamaan $ 3^{x^2-3x+k} \geq \left( \frac{1}{27}\right)^{2x-2x^2} \, $ mempunyai penyelesaian $ -1 \leq x \leq \frac{8}{5} $ jika $ k = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ -8 \, $ E). $ 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep Eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
*). Konsep Pertidaksamaan :
Misal ada $ f(x) \geq g(x) $ memiliki solusi (himpunan penyelesaian) $ a \leq x \leq b $ , artinya $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar dari $ f(x) = g(x) $ , sehingga nilai $ a $ dan $ b $ bisa kita substitusi ke pertaksamaan dan tanda ketaksamaan berubah menjadi sama dengan saja.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Himpunan penyelesaiannya adalah $ -1 \leq x \leq \frac{8}{5} $, artinya $ -1 $ dan $ \frac{8}{5} $ adalah akar-akarnya sehingga bisa kita substitusi ke pertidaksamaannya dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi sama dengan.
*). Substitusi $ x = -1 $ ke pertidaksamaan :
$ \begin{align} 3^{x^2-3x+k} & \geq \left( \frac{1}{27}\right)^{2x-2x^2} \\ 3^{(-1)^2-3.(-1)+k} & = \left( \frac{1}{27}\right)^{2.(-1)-2.(-1)^2} \\ 3^{1 + 3 +k} & = \left( 3 ^{-3} \right)^{-2-2} \\ 3^{4+k} & = \left( 3 ^{-3} \right)^{-4} \\ 3^{4+k} & = 3 ^{12} \\ 4 + k & = 12 \\ k & = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 8 . \, \heartsuit $


Tidak ada komentar:

Posting Komentar