Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2008 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai semua $ x $ yang memenuhi $ {}^a \log ^2 x \geq 8 + 2 {}^a \log x $ , dengan bilangan $ a > 1 $ , adalah ....
A). $ a^2 \leq x \leq a^4 \, $
B). $ x \leq a^2 \, $ atau $ x \geq a^4 $
C). $ x \leq \frac{1}{a^4} \, $ atau $ x \geq a^2 $
D). $ x \leq \frac{1}{a^2} \, $ atau $ x \geq a^4 $
E). $ x \leq -2 \, $ atau $ x \geq 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan akar-akar (pembuat nol),
2). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya ($+$ atau $ - $)
3). Tentukan daerah penyelesaian :
Jika $ > 0 $ , maka arsir positif
Jika $ < 0 $ , maka arsir negatif
4). Buat himpunan penyelesaian sesuai daerah arsiran.
*). Definisi logaritma
$ {}^a \log b = c \leftrightarrow b = a^c $
Syaratnya : $ a > 0 , a \neq 1 , b > 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ = {}^a \log x $ :
$\begin{align} {}^a \log ^2 x & \geq 8 + 2 {}^a \log x \\ ({}^a \log x )^2 & \geq 8 + 2 {}^a \log x \\ (p)^2 & \geq 8 + 2 p \\ p^2 - 2p - 8 & \geq 0 \\ (p+2)(p-4) & \geq 0 \\ p = -2 \vee p & = 4 \\ p=-2 \rightarrow {}^a \log x & = -2 \rightarrow x = a^{-2} = \frac{1}{a^2} \\ p=4 \rightarrow {}^a \log x & = 4 \rightarrow x = a^4 \end{align} $
Garis bilangannya :
 

Sehingga $ HP_1 = \{ x \leq \frac{1}{a^2} \vee x \geq a^4 \} $
*). Dari $ {}^a \log x \, $ maka syaratnya $ x > 0 $ .
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap \{ x > 0 \} \\ HP & = \{ x \leq \frac{1}{a^2} \vee x \geq a^4 \} \cap \{ x > 0 \} \\ & = \{ 0 < x \leq \frac{1}{a^2} \vee x \geq a^4 \} \end{align} $
Jadi, solusinya $ \{ 0 < x \leq \frac{1}{a^2} \vee x \geq a^4 \} . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban yang tepat di optionnya)

Tidak ada komentar:

Posting Komentar