Pembahasan Pertidaksamaan UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ x^2 < |2x-15| $ adalah ....
A). $ -5 < x < -3 \, $
B). $ -5 < x < 0 \, $
C). $ -5 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < 3 \, $
E). $ 0 < x < 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan pembuat nol (akar-akar),
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda (+ atau $ - $),
3). Arsir daerah yang diingikan,
Jika tandanya $ > 0 $ , maka arsir yang positif,
Jika tandanya $ < 0 $ , maka arsir yang negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ - f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
*). Bentuk $ ax^2 + bx + c $ disebut definit positif jika memenuhi $ a > 0 $ dan $ D < 0 $ , dengan $ D = b^2 - 4ac $. Definit positif artinya nilainya selalu positif untuk semua $ x $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menghilangkan bentuk mutlak berdasarkan definisinya :
$ |2x-15| = \left\{ \begin{array}{cc} 2x - 15 & , \text{ untuk } x \geq \frac{15}{2} \\ - (2x - 15) & , \text{ untuk } x < \frac{15}{2} \end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |2x - 15| $ bergantung dari batas $ x $ yaitu $ x \geq \frac{15}{2} $ atau $ x < \frac{15}{2} $.
Cara memperoleh $ x \geq \frac{15}{2} $ yaitu $ 2x - 15 \geq 0 $,
Cara memperoleh $ x < \frac{15}{2} $ yaitu $ 2x - 15 < 0 $,
*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan batas $ x $ nya :
-). Untuk $ x \geq \frac{15}{2} $, bentuk $ |2x - 15| = 2x - 15 $
$ \begin{align} \text{soal : } x^2 & < |2x-15| \\ x^2 & < 2x-15 \\ x^2 -2x + 15 & < 0 \end{align} $
Perhatikan bentuk $ x^2 - 2x + 15 $ adalah definit positif karena $ a = 1 > 0 $ dan $ D = (-2)^2 - 4.1.15 = -54 < 0 $. Sedangkan soalnya meminta $ < 0 $ (negatif), sehingga tidak ada nilai $ x $ yang memenuhi kasus pertama ini.
-). Untuk $ x < \frac{15}{2} $, bentuk $ |2x - 15| = -(2x - 15) $
$ \begin{align} \text{soal : } x^2 & < |2x-15| \\ x^2 & < -(2x-15) \\ x^2 + 2x - 15 & < 0 \\ (x +5)(x - 3) & < 0 \\ x = -5 \vee x & = 3 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Sehingga solusinya $ -5 < x < 3 $.
Jadi, solusinya adalah $ -5 < x < 3. \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar