Pembahasan Kedudukan Lingkaran UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan dua buah lingkaran :
$ L_1 \equiv x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 $
Kedudukan lingkaran $ L_1 $ dan lingkaran $ L_2 $ yang paling tepat adalah ....
A). Tidak berpotongan
B). Berpotongan di dua titik
C). Bersinggungan luar
D). Bersinggungan dalam
E). $ L_1 $ berada di dalam $ L_2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kedudukan Dua lingkaran :
*). Diketahui persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Titik pusat : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2} , -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C } $
*). Jarak antara dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ :
$ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } $
*). Kedudukan dua lingkaran :
Misalkan jari-jari $L_1 $ adalah $ r_1 $ dan lingkaran $ L_2 $ adalah $ r_2 $, jarak kedua titik pusat adalah $ d $, kedudukan dua lingkaran yaitu :
1). $ 0 < d < |r_1 - r_2| \, $ : lingkaran kecil ada di dalam lingkaran besar
2). $ d = |r_1 - r_2| \, $ : bersinggungan dalam
3). $ |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \, $ : berpotongan dua titik
4). $ d = r_1 + r_2 \, $ : bersinggungan luar
5). $ d > r_1 + r_2 \, $ : tidak berpotongan

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran :
-). $ L_1 \equiv x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 $
Pusat : $ (a,b) = ( -\frac{-2}{2} , -\frac{-2}{2} ) = (1 , 1 ) $
Jari-jari : $ r_1 = \sqrt{1^2 + 1^2 - 1 } = \sqrt{1} = 1 $
-). $ L_2 \equiv x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 $
Pusat : $ (a,b) = ( -\frac{-2}{2} , -\frac{4}{2} ) = (1 , -2) $
Jari-jari : $ r_2 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - 1 } = \sqrt{4} = 2 $
Sehingga nilai $ r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3 $ dan $ |r_1 - r_2 | = 1 $
*). Menentukan jarak kedua titik pusat :
$ \begin{align} d & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } \\ & = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-2 - 1)^2 } \\ & = \sqrt{ 0 + (-3)^2 } = \sqrt{ 9 } = 3 \end{align} $
*). Menentukan kedudukan kedua lingkaran berdasarkan syaratnya :
Kita peroleh $ d = 3 $ dan $ r_1 + r_2 = 3 $, artinya $ d = r_1 + r_2 $
Sehingga kedua lingkaran bersinggungan luar.
Jadi, kedua lingkaran bersinggungan luar $. \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar