Cara 2 Pembahasan Deret Takhingga UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$\Delta ABC $ siku-siku di A, $ B_1 $ pada BC sehingga $ AB_1 \bot BC $ , $ B_2 $ pada BC sehingga $ A_1B_2 \bot BC $, $ A_2 $ pada AC sehingga $ B_2A_2 \bot AC $, dan seterusnya. Jika $ AB = 6 $ dan $ BC = 10 $, maka jumlah luas $ \Delta ABC $, $ \Delta B_1AC $, $ \Delta A_1B_1C $ , $ \Delta B_2A_1C $ , $ \Delta A_2B_2C $ , dan seterusnya adalah ....
A). $ \frac{600}{8} \, $ B). $ \frac{600}{9} \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 50 \, $ E). $ \frac{600}{16} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Jumlah deret geometri tak hingga
$ \, \, \, \, \, S_\infty = \frac{a}{1-r} $
keterangan :
$ a = \, $ suku pertama dan
$ r = \, $ rasio $ = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = .... $
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri segitiga siku-siku :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Luas segitiga ABC siku-siku di A:
$ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8 $
$ L \, \Delta ABC = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24 $
*). Misalkan sudut ACB $ = x $
$ \sin x = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} $ dan $ \cos x = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} $
*). Perhatikan segitiga $ B_1AC $ siku-siku di $ B_1 $ dan $ ACB_1 = x $ :
-). Panjang $ AB_1 $
$ \sin x = \frac{AB_1}{AC} \rightarrow \frac{6}{10} = \frac{AB_1}{8} \rightarrow AB_1 = \frac{24}{5} $
-). Panjang $ B_1C $
$ \cos x = \frac{B_1C}{AC} \rightarrow \frac{8}{10} = \frac{B_1C}{8} \rightarrow B_1C = \frac{32}{5} $
-). Luas segitiga $ B_1AC $ :
$ L \, \Delta B_1AC = \frac{1}{2}.AB_1.B_1C = \frac{1}{2} . \frac{24}{5}.\frac{32}{5} = \frac{16}{25} \times 24 $
*). Karena panjang sisi segitiga berikutnya dapat diperoleh dari nilai $ \sin x $ dan $ \cos x $, maka luasnya segitiganya membentuk barisan geometri.
*). Jumlah luasnya :
$ L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + .... $
$ = 24 + \frac{16}{25} \times 24 + .... $
Membentuk deret geometri tak hingga dengan $ a = 24 $ dan
$ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{16}{25} \times 24}{24} = \frac{16}{25} $
*). Jumlah total segitiganya :
$ \begin{align} & L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + .... \\ & = S_\infty \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{24}{1-\frac{16}{25}} \\ & = \frac{24}{ \frac{9}{25}} = 24 \times \frac{25}{9} = \frac{600}{9} \end{align} $
Jadi, total luas segitiga adalah $ \frac{600}{9} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar