Cara 2 Pembahasan Garis singgung UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis singgung kurva $ y = \sqrt{4 - x^2} $ yang sejajar dengan garis lurus $ x + y - 4 = 0 $ adalah ....
A). $ x + y = 0 \, $
B). $ x + y - \sqrt{2} = 0 \, $
C). $ x + y + \sqrt{2} = 0 \, $
D). $ x + y - 2\sqrt{2} = 0 \, $
E). $ x + y +2 \sqrt{2} = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung (PGS) lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ dengan gradien $ m $ adalah $ y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2} $
*). Jika lingkarannya separuh yaitu berbentuk $ y = \sqrt{ r^2 - x^2} $, maka PGS nya adalah $ y = mx + r\sqrt{1 + m^2} $
*). Dua garis sejajar memiliki gradien sama : $ m_1 = m_2 $
*). Gradien garis $ ax+by+c = 0 \rightarrow m = \frac{-a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ y = \sqrt{4 - x^2} $ adalah persamaan lingkaran separuh berpusat di $(0,0) $ dan di atas sumbu X (karena nilai $ y $ selalu positif).
*). Menentukan jari-jari $ (r )$ :
$ \begin{align} y & = \sqrt{r^2 - x^2} \\ y & = \sqrt{4 - x^2} r^2 & = 4 \rightarrow r = 2 \end{align} $
*). Gradien garis $ x + y - 4 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{1} = -1 $.
Karena garis singgung sejajar dengan garis $ x + y - 4 = 0 $ , maka gradien garis singgungnya sama yaitu $ m = m_1 = -1 $.
*). Menyusun PGS dengan $ r = 2 $ dan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx + r\sqrt{1 + m^2} \\ y & = -1.x + 2\sqrt{1 + (-1)^2} \\ y & = -x + 2\sqrt{2} \\ x & + y - 2\sqrt{2} = 0 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ x + 2 - 2\sqrt{2} = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar