Pembahasan Lingkaran Hiperbola UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Lingkaran dengan titik pusat $ (0,1) $ dan jari-jari 2 memotong hiperbola $ x^2 - 2y^2 + 3y - 1 = 0 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $. Nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 35 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 37 \, $ E). $ 38 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran titik pusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ \, \, \, \, \, \, (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Untuk menentukan titik potong dua kurva, bisa dengan teknik eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan $ (a,b) = (0,1) $ dan $ r = 2 $ :
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-0)^2 + (y-1)^2 & = 2^2 \\ x^2 + y^2 - 2y + 1 & = 4 \\ x^2 + y^2 - 2y - 3 & = 0 \end{align} $
*). ELiminasi persamaan lingkaran dan hiperbola :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 2y - 3 = 0 & \\ x^2 - 2y^2 + 3y - 1 = 0 & - \\ \hline 3y^2 - 5y - 2 = 0 & \\ (3y+1)(y-2) = 0 & \\ y_1 = -\frac{1}{3} \vee y_2 = 2 & \end{array} $
*). Menentukan nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) $ :
$ \begin{align} 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) & = 4\left( \frac{1}{(-\frac{1}{3})^2} + \frac{1}{2^2} \right) \\ & = 4\left( \frac{1}{\frac{1}{9} } + \frac{1}{4} \right) \\ & = 4\left( 9+ \frac{1}{4} \right) \\ & = 36+1 = 37 \end{align} $
Jadi, nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) = 37 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar