Cara 2 Pembahasan Lingkaran UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Lingkaran dengan titik pusat $ (0,1) $ dan jari-jari 2 memotong hiperbola $ x^2 - 2y^2 + 3y - 1 = 0 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $. Nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 35 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 37 \, $ E). $ 38 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ay^2 + by + c = 0 $ memiliki akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $.
-). Operasi akar-akar :
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ y_1.y_2 = \frac{c}{a} $
-). Rumus bantu :
$ y_1^2 + y_2^2 = (y_1+y_2)^2 - 2y_1.y_2 $
$ y_1^2.y_2^2 = (y_1.y_2)^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari cara pertama, dari hasil eliminasi kita telah memperoleh bentuk $ 3y^2 - 5y - 2 = 0 $. Misalkan bentuk ini tidak bisa kita faktorkan langsung, maka kita bisa menggunakan operasi akar-akar seperti berikut ini.
-). Operasi akar-akar :
$ y_1 + y_2 = \frac{5}{3} $ dan $ y_1.y_2 = \frac{-2}{3} $
*). Menentukan nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) $ :
$ \begin{align} 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) & = 4\left( \frac{y_1^2 + y_2^2}{y_1^2.y_2^2} \right) \\ & = 4\left( \frac{(y_1+y_2)^2 - 2y_1.y_2}{(y_1.y_2)^2} \right) \\ & = 4\left( \frac{(\frac{5}{3})^2 - 2.\frac{-2}{3}}{(\frac{-2}{3})^2} \right) \\ & = 4\left( \frac{\frac{25}{9} +\frac{4}{3}}{\frac{4}{9}} \right) = 4\left( \frac{\frac{25}{9} +\frac{12}{9}}{\frac{4}{9}} \right) \\ & = 4\left( \frac{\frac{37}{9}}{\frac{4}{9}} \right) = 4\left( \frac{37}{4} \right) = 37 \end{align} $
Jadi, nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) = 37 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar