Tampilkan postingan dengan label matipa um ugm tahun 2005. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matipa um ugm tahun 2005. Tampilkan semua postingan

Cara 2 Pembahasan Lingkaran UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Lingkaran dengan titik pusat $ (0,1) $ dan jari-jari 2 memotong hiperbola $ x^2 - 2y^2 + 3y - 1 = 0 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $. Nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 35 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 37 \, $ E). $ 38 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ay^2 + by + c = 0 $ memiliki akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $.
-). Operasi akar-akar :
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ y_1.y_2 = \frac{c}{a} $
-). Rumus bantu :
$ y_1^2 + y_2^2 = (y_1+y_2)^2 - 2y_1.y_2 $
$ y_1^2.y_2^2 = (y_1.y_2)^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari cara pertama, dari hasil eliminasi kita telah memperoleh bentuk $ 3y^2 - 5y - 2 = 0 $. Misalkan bentuk ini tidak bisa kita faktorkan langsung, maka kita bisa menggunakan operasi akar-akar seperti berikut ini.
-). Operasi akar-akar :
$ y_1 + y_2 = \frac{5}{3} $ dan $ y_1.y_2 = \frac{-2}{3} $
*). Menentukan nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) $ :
$ \begin{align} 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) & = 4\left( \frac{y_1^2 + y_2^2}{y_1^2.y_2^2} \right) \\ & = 4\left( \frac{(y_1+y_2)^2 - 2y_1.y_2}{(y_1.y_2)^2} \right) \\ & = 4\left( \frac{(\frac{5}{3})^2 - 2.\frac{-2}{3}}{(\frac{-2}{3})^2} \right) \\ & = 4\left( \frac{\frac{25}{9} +\frac{4}{3}}{\frac{4}{9}} \right) = 4\left( \frac{\frac{25}{9} +\frac{12}{9}}{\frac{4}{9}} \right) \\ & = 4\left( \frac{\frac{37}{9}}{\frac{4}{9}} \right) = 4\left( \frac{37}{4} \right) = 37 \end{align} $
Jadi, nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) = 37 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran Hiperbola UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Lingkaran dengan titik pusat $ (0,1) $ dan jari-jari 2 memotong hiperbola $ x^2 - 2y^2 + 3y - 1 = 0 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $. Nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 35 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 37 \, $ E). $ 38 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran titik pusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ \, \, \, \, \, \, (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Untuk menentukan titik potong dua kurva, bisa dengan teknik eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan $ (a,b) = (0,1) $ dan $ r = 2 $ :
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-0)^2 + (y-1)^2 & = 2^2 \\ x^2 + y^2 - 2y + 1 & = 4 \\ x^2 + y^2 - 2y - 3 & = 0 \end{align} $
*). ELiminasi persamaan lingkaran dan hiperbola :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 2y - 3 = 0 & \\ x^2 - 2y^2 + 3y - 1 = 0 & - \\ \hline 3y^2 - 5y - 2 = 0 & \\ (3y+1)(y-2) = 0 & \\ y_1 = -\frac{1}{3} \vee y_2 = 2 & \end{array} $
*). Menentukan nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) $ :
$ \begin{align} 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) & = 4\left( \frac{1}{(-\frac{1}{3})^2} + \frac{1}{2^2} \right) \\ & = 4\left( \frac{1}{\frac{1}{9} } + \frac{1}{4} \right) \\ & = 4\left( 9+ \frac{1}{4} \right) \\ & = 36+1 = 37 \end{align} $
Jadi, nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) = 37 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Lima pasang suami istri pergi ke suatu pesta pernikahan dengan menumpang 2 buah mobil yang masing-masing dengan kapasitas 6 orang. Jika setiap pasang harus naik pada mobil yang sama, maka banyaknya cara pengaturan penumpang kedua buah mobil tersebut adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 14 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 24 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun banyak kemungkinan kejadian tanpa memperhatikan urutan menggunakan kombinasi. Rumus kombinasi : $ \, \, _nC_r = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pemilihan pasangan suami istri untuk menumpang pada sebuah mobil tidak memperhatikan urutan, sehingga penghitungannya menggunakan kombinasi. ILustrasi tidak memperhatikan urutan : misalkan mobil I masuk pasangan I lalu pasangan II artinya sama saja dengan masuk pasangan II lalu pasangan I, karena pada intinya tetap ada dua pasangan tersebut dalam mobil I.
*). Karena setiap pasangan harus ada pada mobil yang sama, maka untuk memudahkan perhitungan, kita hitung secara pasangan saja yaitu 5 pasang (bukan perorangan dimana ada 10 orang).
*). Mobil pertama memuat 6 orang, artinya sama saja memuat paling banyak 3 pasangan, begitu juga mobil kedua.
*). Menghitung banyak cara pengaturan:
-). Kenungkinan I : memilih 3 pasang dari 5 pasang yang tersedia untuk mobil pertama yaitu ada $ _5C_3 $ cara, berikutnya memilih 2 pasang dari 2 pasangan tersisa yaitu ada $ _2C_2 $ cara.
Cara I $ = \, _5C_3 \times \, _2C_2 = 10 \times 1 = 10 $
-). Kenungkinan II : memilih 2 pasang dari 5 pasang yang tersedia untuk mobil pertama yaitu ada $ _5C_1 $ cara, berikutnya memilih 3 pasang dari 3 pasangan tersisa yaitu ada $ _3C_3 $ cara.
Cara II $ = \, _5C_2 \times \, _3C_3 = 10 \times 1 = 10 $
-). Jika mobil pertama kita isi dengan 1 pasang saja maka mobil dua harus kita isi 4 pasang, ini tidak mungkin karena setiap mobil paling banyak memuat 3 pasangan saja, sehingga hanya ada dua kemungkinan di atas saja.
*). Menentukan Total Cara :
$ \begin{align} \text{Total cara } & = \text{cara I} + \text{cara II} \\ & = 10 + 10 = 20 \end{align} $
Jadi, banyak pengaturan ada 20 cara $ . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Garis singgung UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis singgung kurva $ y = \sqrt{4 - x^2} $ yang sejajar dengan garis lurus $ x + y - 4 = 0 $ adalah ....
A). $ x + y = 0 \, $
B). $ x + y - \sqrt{2} = 0 \, $
C). $ x + y + \sqrt{2} = 0 \, $
D). $ x + y - 2\sqrt{2} = 0 \, $
E). $ x + y +2 \sqrt{2} = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung (PGS) lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ dengan gradien $ m $ adalah $ y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2} $
*). Jika lingkarannya separuh yaitu berbentuk $ y = \sqrt{ r^2 - x^2} $, maka PGS nya adalah $ y = mx + r\sqrt{1 + m^2} $
*). Dua garis sejajar memiliki gradien sama : $ m_1 = m_2 $
*). Gradien garis $ ax+by+c = 0 \rightarrow m = \frac{-a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ y = \sqrt{4 - x^2} $ adalah persamaan lingkaran separuh berpusat di $(0,0) $ dan di atas sumbu X (karena nilai $ y $ selalu positif).
*). Menentukan jari-jari $ (r )$ :
$ \begin{align} y & = \sqrt{r^2 - x^2} \\ y & = \sqrt{4 - x^2} r^2 & = 4 \rightarrow r = 2 \end{align} $
*). Gradien garis $ x + y - 4 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{1} = -1 $.
Karena garis singgung sejajar dengan garis $ x + y - 4 = 0 $ , maka gradien garis singgungnya sama yaitu $ m = m_1 = -1 $.
*). Menyusun PGS dengan $ r = 2 $ dan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx + r\sqrt{1 + m^2} \\ y & = -1.x + 2\sqrt{1 + (-1)^2} \\ y & = -x + 2\sqrt{2} \\ x & + y - 2\sqrt{2} = 0 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ x + 2 - 2\sqrt{2} = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Garis singgung UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis singgung kurva $ y = \sqrt{4 - x^2} $ yang sejajar dengan garis lurus $ x + y - 4 = 0 $ adalah ....
A). $ x + y = 0 \, $
B). $ x + y - \sqrt{2} = 0 \, $
C). $ x + y + \sqrt{2} = 0 \, $
D). $ x + y - 2\sqrt{2} = 0 \, $
E). $ x + y +2 \sqrt{2} = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung (PGS) kurva $ y = f(x) $ di titik singgung $ (x_1,y_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x-x_1) $ dengan $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Turunan bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
*). Dua garis sejajar memiliki gradien sama : $ m_1 = m_2 $
*). Gradien garis $ ax+by+c = 0 \rightarrow m = \frac{-a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Gradien garis $ x + y - 4 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{1} = -1 $
*). Turunan fungsinya :
$ y = \sqrt{4 - x^2} \rightarrow y^\prime = \frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} $
*). Misalkan titik singgungnya di $ (x_1,y_1) $ :
$ m_2 = f^\prime (x_2) = \frac{-x_1}{\sqrt{4 - x_1^2}} $
*). Kedua garis sejajar, sehingga :
$ \begin{align} m_1 & = m_2 \\ -1 & = \frac{-x_1}{\sqrt{4 - x_1^2}} \\ \sqrt{4 - x_1^2} & = x_1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 4 - x_1^2 & = x_1^2 \\ 2 x_1^2 & = 4 \\ x_1^2 & = 2 \\ x_1 & = \pm \sqrt{ 2 } \end{align} $
-). Dari bentuk $ \sqrt{4 - x_1^2} = x_1 $ , nilai $ x_1 $ harus positif (hasil akar dari suatu bilangan real adalah positif), sehingga yang memenuhi adalah $ x_1 = \sqrt{2} $.
$ y = \sqrt{4 - x^2} \rightarrow y_1 = \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} $.
-). Sehingga titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}) $.
*). Menyusun persamaan garis singgung kurva dengan $ (x_1,y_1) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}) $ dan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y - y_1 & = m (x-x_1) \\ y - \sqrt{2} & = -1 (x-\sqrt{2}) \\ y - \sqrt{2} & = - x + \sqrt{2} \\ x + 2 - 2\sqrt{2} & = 0 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ x + 2 - 2\sqrt{2} = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x\tan 5x}{\cos 2x - \cos 7x } = .... $
A). $ \frac{1}{9} \, $ B). $ -\frac{1}{9} \, $ C). $ \frac{2}{9} \, $ D). $ -\frac{2}{9} \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ax}{\sin bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax}{\sin bx} = \frac{a}{b} $.
*). Rumus trigonometri :
i). $ \cos A - \cos B = -2\sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) $
ii). $ \sin (-x ) = - \sin x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometrinya :
$ \begin{align} \cos 2x - \cos 7x & = -2\sin \left( \frac{2x+7x}{2} \right) \sin \left( \frac{2x - 7x}{2} \right) \\ & = -2\sin \left( \frac{9}{2} x \right) \sin \left( -\frac{5}{2} x \right) \\ & = 2\sin \left( \frac{9}{2} x \right) \sin \left( \frac{5}{2} x \right) \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x\tan 5x}{\cos 2x - \cos 7x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x\tan 5x}{ 2\sin \left( \frac{9}{2} x \right) \sin \left( \frac{5}{2} x \right) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{2}. \frac{x}{\sin \left( \frac{9}{2} x \right)}. \frac{\tan 5x}{ \sin \left( \frac{5}{2} x \right) } \\ & = \frac{1}{2}. \frac{1}{ \frac{9}{2} }. \frac{ 5}{\frac{5}{2} } \\ & = \frac{1}{2}. \frac{2}{ 9}. 5 . \frac{ 2}{5} = \frac{2}{9} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{2}{9} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Deret Takhingga UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$\Delta ABC $ siku-siku di A, $ B_1 $ pada BC sehingga $ AB_1 \bot BC $ , $ B_2 $ pada BC sehingga $ A_1B_2 \bot BC $, $ A_2 $ pada AC sehingga $ B_2A_2 \bot AC $, dan seterusnya. Jika $ AB = 6 $ dan $ BC = 10 $, maka jumlah luas $ \Delta ABC $, $ \Delta B_1AC $, $ \Delta A_1B_1C $ , $ \Delta B_2A_1C $ , $ \Delta A_2B_2C $ , dan seterusnya adalah ....
A). $ \frac{600}{8} \, $ B). $ \frac{600}{9} \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 50 \, $ E). $ \frac{600}{16} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Jumlah deret geometri tak hingga
$ \, \, \, \, \, S_\infty = \frac{a}{1-r} $
keterangan :
$ a = \, $ suku pertama dan
$ r = \, $ rasio $ = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = .... $
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri segitiga siku-siku :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Luas segitiga ABC siku-siku di A:
$ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8 $
$ L \, \Delta ABC = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24 $
*). Misalkan sudut ACB $ = x $
$ \sin x = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} $ dan $ \cos x = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} $
*). Perhatikan segitiga $ B_1AC $ siku-siku di $ B_1 $ dan $ ACB_1 = x $ :
-). Panjang $ AB_1 $
$ \sin x = \frac{AB_1}{AC} \rightarrow \frac{6}{10} = \frac{AB_1}{8} \rightarrow AB_1 = \frac{24}{5} $
-). Panjang $ B_1C $
$ \cos x = \frac{B_1C}{AC} \rightarrow \frac{8}{10} = \frac{B_1C}{8} \rightarrow B_1C = \frac{32}{5} $
-). Luas segitiga $ B_1AC $ :
$ L \, \Delta B_1AC = \frac{1}{2}.AB_1.B_1C = \frac{1}{2} . \frac{24}{5}.\frac{32}{5} = \frac{16}{25} \times 24 $
*). Karena panjang sisi segitiga berikutnya dapat diperoleh dari nilai $ \sin x $ dan $ \cos x $, maka luasnya segitiganya membentuk barisan geometri.
*). Jumlah luasnya :
$ L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + .... $
$ = 24 + \frac{16}{25} \times 24 + .... $
Membentuk deret geometri tak hingga dengan $ a = 24 $ dan
$ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{16}{25} \times 24}{24} = \frac{16}{25} $
*). Jumlah total segitiganya :
$ \begin{align} & L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + .... \\ & = S_\infty \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{24}{1-\frac{16}{25}} \\ & = \frac{24}{ \frac{9}{25}} = 24 \times \frac{25}{9} = \frac{600}{9} \end{align} $
Jadi, total luas segitiga adalah $ \frac{600}{9} . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Takhingga UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$\Delta ABC $ siku-siku di A, $ B_1 $ pada BC sehingga $ AB_1 \bot BC $ , $ B_2 $ pada BC sehingga $ A_1B_2 \bot BC $, $ A_2 $ pada AC sehingga $ B_2A_2 \bot AC $, dan seterusnya. Jika $ AB = 6 $ dan $ BC = 10 $, maka jumlah luas $ \Delta ABC $, $ \Delta B_1AC $, $ \Delta A_1B_1C $ , $ \Delta B_2A_1C_1 $ , $ \Delta A_2B_2C $ , dan seterusnya adalah ....
A). $ \frac{600}{8} \, $ B). $ \frac{600}{9} \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 50 \, $ E). $ \frac{600}{16} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Jumlah deret geometri tak hingga
$ \, \, \, \, \, S_\infty = \frac{a}{1-r} $
keterangan :
$ a = \, $ suku pertama dan
$ r = \, $ rasio $ = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = .... $
*). Dua bangun sebangun maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama.
*). Ciri-ciri dua segitiga sebangun adalah ketiga sudut yang bersesuaian sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Luas segitiga ABC siku-siku di A:
$ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8 $
$ L \, \Delta ABC = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24 $
*). Segitiga $ B_1AC $ sebangun dengan segitiga ABC :
Sehingga perbandingannya : $ \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC}{BC} = \frac{B_1C}{AC} $
-). Panjang $ AB_1 $
$ \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC}{BC} \rightarrow \frac{AB_1}{6} = \frac{8}{10} \rightarrow AB_1 = \frac{24}{5} $
-). Panjang $ B_1C $
$ \frac{AC}{BC} = \frac{B_1C}{AC} \rightarrow \frac{8}{10} = \frac{B_1C}{8} \rightarrow B_1C = \frac{32}{5} $
-). Luas segitiga $ B_1AC $ :
$ L \, \Delta B_1AC = \frac{1}{2}.AB_1.B_1C = \frac{1}{2} . \frac{24}{5}.\frac{32}{5} = \frac{16}{25} \times 24 $
*). Karena segitiga berikutnya juga sebangun dengan segitiga ABC, maka luasnya segitiganya membentuk barisan geometri.
*). Jumlah luasnya :
$ L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + .... $
$ = 24 + \frac{16}{25} \times 24 + .... $
Membentuk deret geometri tak hingga dengan $ a = 24 $ dan
$ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{16}{25} \times 24}{24} = \frac{16}{25} $
*). Jumlah total segitiganya :
$ \begin{align} & L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + .... \\ & = S_\infty \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{24}{1-\frac{16}{25}} \\ & = \frac{24}{ \frac{9}{25}} = 24 \times \frac{25}{9} = \frac{600}{9} \end{align} $
Jadi, panjang tali semua adalah 381 cm $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Geometri UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Suatu tali dibagi menjadi tujuh bagian dengan panjang yang membentuk suatu barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 192 cm, maka panjang tali semula sama dengan ....
A). $ 379 \, $ B). $ 381 \, $ C). $ 383 \, $ D). $ 385 \, $ E). $ 387 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = a.r^{n-1} $
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama ($S_n$) :
$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1 } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
-). Tali dibagi menjadi 7 bagian, artinya ada 7 suku.
-). Tali terpendek : $ a = U_1 = 3 $
-). Bagian terpanjang : $ U_7 = 192 $.
*). Menentukan nilai $ r $ (rasio) :
$ \begin{align} U_7 & = 192 \\ ar^6 & = 192 \\ 3r^6 & = 192 \\ r^6 & = 64 \\ r & = 2 \end{align} $
*). Panjang tali semula, artinya jumlah dari ketujuh suku yang terbentuk atau jumlah dari 7 suku pertama $(S_7)$ :
$ \begin{align} S_n & = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1 } \\ S_7 & = \frac{3.(2^7 - 1)}{2 - 1 } \\ & = \frac{3.(128 - 1)}{1 } \\ & = 3.(127) = 381 \end{align} $
Jadi, panjang tali semua adalah 381 cm $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ 3.2^{4x} + 2^{2x} - 10 = 0 $ adalah ....
A). $ {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \, $
B). $ \frac{1}{2}( {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3) \, $
C). $ \frac{1}{2} {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \, $
D). $ {}^2 \log 5 - \frac{1}{2} {}^2 \log 3 \, $
E). $ 2({}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 ) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a} $
*). Definisi logaritma :
$ a^c = b \rightarrow c = {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 2^{2x} $ :
$ \begin{align} 3.2^{4x} + 2^{2x} - 10 & = 0 \\ 3.(2^{2x})^2 + 2^{2x} - 10 & = 0 \\ 3.(p)^2 + p - 10 & = 0 \\ (p+2)(3p-5) & = 0 \\ p = -2 \vee p & = \frac{5}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} p = -2 \rightarrow 2^{2x} & = -2 \\ \text{(tidak } & \text{ memenuhi)} \\ p = \frac{5}{3} \rightarrow 2^{2x} & = \frac{5}{3} \\ 2x & = {}^2 \log \frac{5}{3} \\ 2x & = {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \\ x & = \frac{1}{2}\left( {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \right) \end{align} $
Jadi, nilai $ x = \frac{1}{2}\left( {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Suku banyak $ f(x) = x^3 + ax^2 - bx - 5 $ dibagi dengan $ (x-2) $ memberikan hasil bagi $ x^2 + 4x + 11 $ dan sisa 17. Nilai $ a + b = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pembagian suku banyak :
$ \, \, \, \, \, \, f(x) = P(x).H(x) + S(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ P(x) = \, $ pembaginya,
$ H(x) = \, $ hasilnya,
$ S(x) = \, $ sisa pembagiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
$ f(x) = x^3 + ax^2 - bx - 5 , P(x) = x-2, $
$ H(x) = x^2 + 4x + 11 , S(x) = 17 $.
*). Menyusun pembagian suku banyaknya :
$ \begin{align} f(x) & = P(x).H(x) + S(x) \\ x^3 + ax^2 - bx - 5 & = (x-2)(x^2 + 4x + 11) + 17 \\ x^3 + ax^2 - bx - 5 & = x^3 + 4x^2 + 11x - 2x^2 - 8x - 22 + 17 \\ x^3 + ax^2 - bx - 5 & = x^3 + 2x^2 + 3x - 5 \end{align} $
Dari kesamaan di atas, kita peroleh :
$ a = 2 $ dan $ b = -3 $
Sehingga nilai $ a + b = 2 + (-3) = -1 $.
Jadi, nilai $ a + b = -1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Untuk $ 0 \leq x \leq \pi $ , penyelesaian pertaksamaan $ \cos 4x + 3\cos 2x - 1 < 0 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3} \, $
B). $ \frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6} \, $
C). $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{2\pi}{3} \, $
D). $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} \, $
E). $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus sudut ganda :
$ \, \, \, \, \, \, \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
*). Bentuk $ \cos f(x) $ mempunyai nilai berkisar :
$ \, \, \, \, -1 \leq \cos f(x) \leq 1 $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Tentukan akar-akar (pembuat nol),
2). Buat garis bilangan dan tandanya (+ atau $ - $),
3). Arsir daerah diminta :
Jika ketaksamaannya $ < 0 $ , maka arsir negatif
Jika ketaksamaannya $ > 0 $ , maka arsir positif.
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$ \begin{align} \cos 4x + 3\cos 2x - 1 & < 0 \\ \cos 2(2x) + 3\cos 2x - 1 & < 0 \\ (2\cos ^2 2x - 1) + 3\cos 2x - 1 & < 0 \\ \cos ^2 2x + 3\cos 2x - 2 & < 0 \\ (\cos 2x + 2)(2\cos 2x - 1) & < 0 \end{align} $
$ ( \cos 2x + 2 ) = 0 \rightarrow \cos 2x = -2 \, $ (tidak memenuhi)
$ (2\cos 2x - 1 ) = 0 \rightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} $
Untuk $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka
$ \cos 2x = \cos 60^\circ \rightarrow 2x = 60^\circ \rightarrow x = 30^\circ = \frac{\pi}{6} $
$ \cos 2x = \cos 300^\circ \rightarrow 2x = 300^\circ \rightarrow x = 150^\circ = \frac{5\pi}{6} $
Garis bilangannya :
 

Karena yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} $
Jadi, solusinya adalah $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Mutlak UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan jawab pertidaksamaan : $ |x-2|^2 - 4|x-2| < 12 $ adalah ....
A). $ \emptyset \, $
B). $ \{ x | x < 8 \} \, $
C). $ \{ x | -8 < x < 4 \} \, $
D). $ \{ x | -4 < x < 8 \} \, $
E). $ \{ x | x \text{ bilangan real} \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara III : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-9 \Rightarrow |x-2|^2 - 4|x-2| & < 12 \\ |-9-2|^2 - 4|-9-2| & < 12 \\ |-11|^2 - 4|-11| & < 12 \\ 121 - 44 & < 12 \\ 77 & < 12 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=-9$ BENAR, opsi yang salah B dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=5 \Rightarrow |x-2|^2 - 4|x-2| & < 12 \\ |5-2|^2 - 4|5-2| & < 12 \\ |3|^2 - 4|3| & < 12 \\ 9 - 12 & < 12 \\ -3 & < 12 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=5$ BENAR, opsi yang salah A dan C.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi D (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ -4 < x < 8 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Mutlak UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan jawab pertidaksamaan : $ |x-2|^2 - 4|x-2| < 12 $ adalah ....
A). $ \emptyset \, $
B). $ \{ x | x < 8 \} \, $
C). $ \{ x | -8 < x < 4 \} \, $
D). $ \{ x | -4 < x < 8 \} \, $
E). $ \{ x | x \text{ bilangan real} \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat bentuk mutlak :
|f(x)|^2 = (f(x))^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = | x - 2| $ ($p$ positif).
*). Memfaktorkan :
$ \begin{align} |x-2|^2 - 4|x-2| & < 12 \\ |x-2|^2 - 4|x-2| - 12 & < 0 \\ p^2 - 4p - 12 & < 0 \\ (p + 2)(p-6) & < 0 \\ p = -2 \vee p & = 6 \end{align} $
*). Karena bentuk $ p = |x-2| $ selalu positif, maka $ p = 6 $ yang memenuhi, sehingga nilai $ x $ nya :
$ \begin{align} |x-2| & = p \\ |x-2| & = 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ |x-2|^2 & = 6^2 \\ (x-2)^2 & = 36 \\ x^2 - 4x + 4 & = 36 \\ x^2 - 4x -32 & = 0 \\ (x + 4)(x-8) & = 0 \\ x = -4 \vee x & = 8 \end{align} $
Garis bilangannya :
 

karena pada soal yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya $ -4 < x < 8 $.
Jadi, solusinya adalah $ -4 < x < 8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan jawab pertidaksamaan : $ |x-2|^2 - 4|x-2| < 12 $ adalah ....
A). $ \emptyset \, $
B). $ \{ x | x < 8 \} \, $
C). $ \{ x | -8 < x < 4 \} \, $
D). $ \{ x | -4 < x < 8 \} \, $
E). $ \{ x | x \text{ bilangan real} \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat pertidaksamaan mutlak :
$ |f(x)| < k \rightarrow -k < f(x) < k $
*). Bentuk $ A.B < 0 $ dan jika $ B > 0 $ ,
maka memiliki penyelesaian untuk $ A < 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memfaktorkan :
$ \begin{align} |x-2|^2 - 4|x-2| & < 12 \\ |x-2|^2 - 4|x-2| - 12 & < 0 \\ (|x-2| + 2)(|x-2| - 6) & < 0 \end{align} $
*). Karena bentuk $ |x-2|+2 $ selalu positif, maka pertidaksamaan $ (|x-2| + 2)(|x-2| - 6) < 0 $ tergantung dari $ (|x-2|-6) < 0 $ yang memiliki penyelesaian :
$ \begin{align} (|x-2|-6)& < 0 \\ |x-2| & < 6 \, \, \, \, \, \, \text{(sifat mutlak)} \\ -6 < x & - 2 < 6 \, \, \, \, \, \, \text{(tambahkan 2)} \\ -6 + 2 < x & - 2 + 2 < 6 + 2 \\ -4 < & x < 8 \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ -4 < x < 8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui limas segiempat T.ABCD dengan rusuk-rusuk tegak 15 cm, bidang alasnya ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 10 cm dan BC = 12 cm. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang TAB dengan bidang alas ABCD, maka $ \sin \alpha = .... $
A). $ \frac{2}{5}\sqrt{19} \, $ cm
B). $ \frac{1}{10}\sqrt{78} \, $ cm
C). $ \frac{4}{5}\sqrt{5} \, $ cm
D). $ \frac{1}{10}\sqrt{82} \, $ cm
E). $ \frac{2}{5}\sqrt{21} \, $ cm

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar trigonometri pada segitiga siku-siku:
$ \sin \alpha = \frac{depan}{miring} $
*). Untuk menentukan panjang pada dimensi tiga, bisa menggunakan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). ilustrasi gambar :
 

Sudut (TAB,ABCD) = sudut (TP,PO) = $ \alpha $
Titik P ada ditengah-tengah AB, sehingga AP = 5.
Titik O ada ditengah-tengah jajar genjang, sehingga PO = 6.
-). Panjang TP pada segitiga TAP :
$ TP = \sqrt{TA^2 - AP^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{200} = 10 \times \sqrt{2} $
-). Panjang TO pada segitiga TOP :
$ TO = \sqrt{TP^2 - PO^2} = \sqrt{(\sqrt{200})^2 - 6^2} = \sqrt{164} $
$ TO = \sqrt{ 82 \times 2} = \sqrt{82} \times \sqrt{2} $
*). Menentukan nilai $ \sin alpha $ pada segitiga TOP :
$ \begin{align} \sin \alpha & = \frac{depan}{miring} = \frac{TO}{TP} \\ & = \frac{\sqrt{82} \times \sqrt{2}}{10 \times \sqrt{2}} \\ & = \frac{1}{10}\sqrt{82} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha = \frac{1}{10}\sqrt{82} . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \vec{p} , \vec{q}, \vec{r} $ dan $ \vec{s} $ berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajaran genjang PQRS dengan PQ sejajar SR, maka $ \vec{s} $
A). $ -\vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \, $
B). $ -\vec{p}-\vec{q}+\vec{r} \, $
C). $ \vec{p}-\vec{q}+\vec{r} \, $
D). $ \vec{p}-\vec{q}-\vec{r} \, $
E). $ \vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Vektor $ \vec{AB} $ dapat dijabarkan menjadi :
$\, \, \, \, \, \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} $
dengan $ \vec{OB} $ dan $ \vec{OA} $ vektor posisi.
*). Jika $ \vec{PQ} $ sejajar $ \vec{SR} $ dan sama panjang serta searah,
maka $ \vec{PQ} = \vec{SR} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). ilustrasi gambar :
 

-). Karena PQRS jajaran genjang, maka panjang PQ = SR,
sehingga $ \vec{PQ} = \vec{SR} $
-). Vektor posisi masing-masing :
$ \vec{OP} = \vec{p}, \vec{OQ} = \vec{q}, \vec{OR} = \vec{r}, \vec{OS} = \vec{s} $
*). Menentukan bentuk $ \vec{s} $ :
$ \begin{align} \vec{PQ} & = \vec{SR} \\ \vec{OQ} - \vec{OP} & = \vec{OR} - \vec{OS} \\ \vec{q} - \vec{p} & = \vec{r} - \vec{s} \\ \vec{s} & = \vec{p} - \vec{q} + \vec{r} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ \vec{s} = \vec{p} - \vec{q} + \vec{r} . \, \heartsuit $

Pembahasan Luas Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui segitiga ABC dengan sudut A sebesar $ 30^\circ $, panjang AB = 2 cm, dan panjang AC = 6 cm. Luas segitiga ABC adalah ....
A). 6 cm$^2$
B). 12 cm$^2$
C). 3 cm$^2$
D). $ 3 \sqrt{3} \, $ cm$^2$
E). $ 6 \sqrt{3} \, $ cm$^2$

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga ABC :
$ \text{Luas } = \frac{1}{2}.AB . AC . \sin \angle A $
Dengan AB dan AC adalah sisi yang mengapit sudut A
(Sisi-sisi yang mengapit sudut yang diketahui)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
AB = 2 cm, AC = 6 cm dan $ \angle A = 30^\circ $.
*). Menentukan Luas segitiga ABC :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2}.AB . AC . \sin \angle A \\ & = \frac{1}{2}.2 . 6 . \sin 30^\circ \\ & = 6 . \frac{1}{2} \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, luas segitiga ABC adalah $ 3 \, $ cm$^2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan $ 3\sin x - 4\cos x = 3 - 4p $ dapat diselesaikan bilamana :
A). $ p \leq 1 \, $
B). $ 0 \leq p \leq 1 \, $
C). $ \frac{1}{2} \leq p \leq 1 \, $
D). $ -1 \leq p \leq 1 \, $
E). $ -\frac{1}{2} \leq p \leq 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk persamaan trigonometri
$ \, \, \, \, \, a \sin f(x) + b \cos f(x) = c $
dapat diselesaikan dengan syarat
$ \, \, \, \, \, -\sqrt{a^2 + b^2} \leq c \leq \sqrt{a^2 + b^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ 3\sin x - 4\cos x = 3 - 4p $ :
Nilai $ a = 3 , b = -4 $ dan $ c = 3 - 4p $
Sehingga $ \sqrt{a^2 + b^2 } = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5 $
*). Menyelesaikan syaratnya :
$ \begin{align} -\sqrt{a^2 + b^2} \leq & c \leq \sqrt{a^2 + b^2} \\ -5 \leq 3 & - 4p \leq 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kurang 3)} \\ -5 - 3 \leq 3 - & 4p - 3 \leq 5 - 3 \\ -8 \leq - & 4p \leq 2 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ 2 \geq & p \geq -\frac{1}{2} \end{align} $
dapat ditulis juga $ -\frac{1}{2} \leq p \leq 2 $.
Jadi, dapat diselesaikan jika $ -\frac{1}{2} \leq p \leq 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Asimtot-asimtot dari hiperbola $ 25x^2 - 4y^2 - 50x + 24y - 111 = 0 $ memotong sumbu Y di titik P dan Q. Jarak $ PQ = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 4\frac{1}{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 5\frac{1}{2} \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Hiperbola $ \frac{x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y - q = \pm \frac{b}{a}(x - p) $.
*). Cara melengkapkan kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 $.
*). Untuk menentukan titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan dengan melengkapkan kuadrat sempurna :
$ \begin{align} 25x^2 - 4y^2 - 50x + 24y - 111 & = 0 \\ 25x^2 - 50x - 4y^2 + 24y & = 111 \\ 25(x^2 - 2x) - 4(y^2 - 6y) & = 111 \\ 25[(x-\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2] - 4[(y - \frac{6}{2})^2 - (\frac{6}{2})^2 ] & = 111 \\ 25[(x-1)^2 - 1] - 4[(y -3)^2 - 9] & = 111 \\ 25(x-1)^2 - 25 - 4(y -3)^2 + 36 & = 111 \\ 25(x-1)^2 - 4(y -3)^2 & = 111 + 25 - 36 \\ 25(x-1)^2 - 4(y -3)^2 & = 100 \\ \frac{25(x-1)^2}{100} - \frac{4(y -3)^2}{100} & = \frac{100}{100} \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y -3)^2}{25} & = 1 \end{align} $
Mirip dengan bentuk $ \frac{x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $ , sehingga
$ a^2 = 4 \rightarrow a = 2 $ dan $ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y - q & = \pm \frac{b}{a}(x - p) \\ y - 3 & = \pm \frac{5}{2}(x - 1) \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah
$ y - 3 = \frac{5}{2}(x - 1) $ dan $ y - 3 = - \frac{5}{2}(x - 1)$
*). Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ :
$ \begin{align} x = 0 \rightarrow y - 3 & = \frac{5}{2}(x - 1) \\ y - 3 & = \frac{5}{2}(0 - 1) \\ y & = - \frac{5}{2} + 3 = \frac{1}{2} \\ \text{artinya titik } & P(0,\frac{1}{2} ) \\ x = 0 \rightarrow y - 3 & = -\frac{5}{2}(x - 1) \\ y - 3 & = -\frac{5}{2}(0 - 1) \\ y & = \frac{5}{2} + 3 = 5\frac{1}{2} \\ \text{artinya titik } & Q(0,5\frac{1}{2} ) \end{align} $
Sehingga jarak PQ $ = 5\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 5 $.
Jadi, jarak PQ adalah $ 5 . \, \heartsuit $