Pembahasan Garis singgung UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis singgung kurva $ y = \sqrt{4 - x^2} $ yang sejajar dengan garis lurus $ x + y - 4 = 0 $ adalah ....
A). $ x + y = 0 \, $
B). $ x + y - \sqrt{2} = 0 \, $
C). $ x + y + \sqrt{2} = 0 \, $
D). $ x + y - 2\sqrt{2} = 0 \, $
E). $ x + y +2 \sqrt{2} = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung (PGS) kurva $ y = f(x) $ di titik singgung $ (x_1,y_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x-x_1) $ dengan $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Turunan bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
*). Dua garis sejajar memiliki gradien sama : $ m_1 = m_2 $
*). Gradien garis $ ax+by+c = 0 \rightarrow m = \frac{-a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Gradien garis $ x + y - 4 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{1} = -1 $
*). Turunan fungsinya :
$ y = \sqrt{4 - x^2} \rightarrow y^\prime = \frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} $
*). Misalkan titik singgungnya di $ (x_1,y_1) $ :
$ m_2 = f^\prime (x_2) = \frac{-x_1}{\sqrt{4 - x_1^2}} $
*). Kedua garis sejajar, sehingga :
$ \begin{align} m_1 & = m_2 \\ -1 & = \frac{-x_1}{\sqrt{4 - x_1^2}} \\ \sqrt{4 - x_1^2} & = x_1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 4 - x_1^2 & = x_1^2 \\ 2 x_1^2 & = 4 \\ x_1^2 & = 2 \\ x_1 & = \pm \sqrt{ 2 } \end{align} $
-). Dari bentuk $ \sqrt{4 - x_1^2} = x_1 $ , nilai $ x_1 $ harus positif (hasil akar dari suatu bilangan real adalah positif), sehingga yang memenuhi adalah $ x_1 = \sqrt{2} $.
$ y = \sqrt{4 - x^2} \rightarrow y_1 = \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} $.
-). Sehingga titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}) $.
*). Menyusun persamaan garis singgung kurva dengan $ (x_1,y_1) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}) $ dan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y - y_1 & = m (x-x_1) \\ y - \sqrt{2} & = -1 (x-\sqrt{2}) \\ y - \sqrt{2} & = - x + \sqrt{2} \\ x + 2 - 2\sqrt{2} & = 0 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ x + 2 - 2\sqrt{2} = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar