Pembahasan Fungsi Naik UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} $ , maka fungsi $ f $ naik pada selang ....
A). $ \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} , 0 \right) \, $ B). $ \left( 0, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \, $ C). $ \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} , \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \, $
D). $ \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} , \infty \right) \, $ E). $ \left( \frac{\sqrt{3}}{3} , \infty \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ naik pada interval $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) > 0 $ .
*). Turunana fungsi :
1). $ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
2). $ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan akar-akar
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ( + atau $ - $ )
3). Arsir daerah yang diinginkan
4). Buat himpunan penyelesaiannya

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya dan syarat fungsi naik :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} = \frac{U}{V} \\ U & = \sqrt{x} \rightarrow U^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ V & = x^2 + 1 \rightarrow V^\prime = 2x \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) - \sqrt{x}.2x}{(x^2+1)^2} \\ f^\prime (x) & > 0 \\ & \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) - \sqrt{x}.2x}{(x^2+1)^2} > 0 \end{align} $
*). karena penyebutnya $ (x^2+1)^2 $ selalu positif, maka yang menentukan tersisa pembilangnya yaitu $ \frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) - \sqrt{x}.2x > 0 $ . Kita tentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} \frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) & - \sqrt{x}.2x = 0 \\ \sqrt{x}.2x & = \frac{1}{2\sqrt{x}} . (x^2+1) \\ 2x \sqrt{x} \times 2\sqrt{x} & = (x^2+1) \\ 4x^2 & = x^2+1 \\ 3x^2 & = 1 \\ x^2 & = \frac{1}{3} \\ x & = \pm \sqrt{ \frac{1}{3} } \\ x & = \pm \frac{\sqrt{ 3 }}{3} \end{align} $
Garis bilangannya :
 

-). Perhatikan bentuk turunan fungsi $ f(x) $, ada bentuk $ \frac{1}{2\sqrt{x}} $ yang artinya $ \sqrt{x} \neq 0 $ dan syarat dalam akar harus positif, sehingga haruslah $ x > 0 $.
-). Dari garis bilangan dan syarat $ x > 0 $ , maka fungsi $ f(x) $ naik pada interval $ 0 < x < \frac{\sqrt{ 3 }}{3} $ atau dapat ditulis $ \left( 0 , \frac{\sqrt{ 3 }}{3} \right) $.
Jadi, fungsinya naik pada selang $ \left( 0 , \frac{\sqrt{ 3 }}{3} \right) . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar