Pembahasan Pertidaksamaan TriLog UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai-nilai $ x $ yang memenuhi $ 0 \leq x \leq \pi $ dan $ {}^2 \log ^2 (\sin x) - {}^2 \log (\sin ^3 x) \leq 4 $ adalah ....
A). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{6} \, $
B). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \pi \, $
C). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} \, $
D). $ \frac{5\pi}{6} \leq x \leq \pi \, $
E). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma : $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
*). Penulisan logaritma dan trigonometri :
$ {}^a \log ^ n b = ({}^a \log b )^2 $
$ \sin ^n x = (\sin x)^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = {}^2 \log (\sin x) $ :
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} {}^2 \log ^2 (\sin x) - {}^2 \log (\sin ^3 x) & \leq 4 \\ ({}^2 \log (\sin x) )^2 - {}^2 \log (\sin x)^3 & \leq 4 \\ ({}^2 \log (\sin x) )^2 - 3 ({}^2 \log (\sin x)) & \leq 4 \\ (p)^2 - 3p & \leq 4 \\ p^2 - 3p - 4 & \leq 0 \\ (p + 1)(p - 4) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = 4 \\ p = -1 \rightarrow {}^2 \log (\sin x) & = -1 \\ (\sin x) & = 2^{-1} \\ \sin x & = \frac{1}{2} \\ x & = \frac{\pi}{6} , \frac{5\pi}{6} \\ p = 4 \rightarrow {}^2 \log (\sin x) & = 4 \\ (\sin x) & = 2^4 \\ (\sin x) & = 16 \end{align} $
karena nilai $ \sin x $ paling besar $ 1 $ , maka tidak ada nilai $ x $ yang memenuhi $ \sin x = 16 $.
Garis bilangannya :
 

Yang diminta $ \leq 0 $ , sehingga solusinya daerah yang negatif yaitu $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} $.
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar