Pembahasan Hiperbola UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Asimtot-asimtot dari hiperbola $ 25x^2 - 4y^2 - 50x + 24y - 111 = 0 $ memotong sumbu Y di titik P dan Q. Jarak $ PQ = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 4\frac{1}{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 5\frac{1}{2} \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Hiperbola $ \frac{x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y - q = \pm \frac{b}{a}(x - p) $.
*). Cara melengkapkan kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 $.
*). Untuk menentukan titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan dengan melengkapkan kuadrat sempurna :
$ \begin{align} 25x^2 - 4y^2 - 50x + 24y - 111 & = 0 \\ 25x^2 - 50x - 4y^2 + 24y & = 111 \\ 25(x^2 - 2x) - 4(y^2 - 6y) & = 111 \\ 25[(x-\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2] - 4[(y - \frac{6}{2})^2 - (\frac{6}{2})^2 ] & = 111 \\ 25[(x-1)^2 - 1] - 4[(y -3)^2 - 9] & = 111 \\ 25(x-1)^2 - 25 - 4(y -3)^2 + 36 & = 111 \\ 25(x-1)^2 - 4(y -3)^2 & = 111 + 25 - 36 \\ 25(x-1)^2 - 4(y -3)^2 & = 100 \\ \frac{25(x-1)^2}{100} - \frac{4(y -3)^2}{100} & = \frac{100}{100} \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y -3)^2}{25} & = 1 \end{align} $
Mirip dengan bentuk $ \frac{x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $ , sehingga
$ a^2 = 4 \rightarrow a = 2 $ dan $ b^2 = 25 \rightarrow b = 5 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} y - q & = \pm \frac{b}{a}(x - p) \\ y - 3 & = \pm \frac{5}{2}(x - 1) \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah
$ y - 3 = \frac{5}{2}(x - 1) $ dan $ y - 3 = - \frac{5}{2}(x - 1)$
*). Titik potong sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ :
$ \begin{align} x = 0 \rightarrow y - 3 & = \frac{5}{2}(x - 1) \\ y - 3 & = \frac{5}{2}(0 - 1) \\ y & = - \frac{5}{2} + 3 = \frac{1}{2} \\ \text{artinya titik } & P(0,\frac{1}{2} ) \\ x = 0 \rightarrow y - 3 & = -\frac{5}{2}(x - 1) \\ y - 3 & = -\frac{5}{2}(0 - 1) \\ y & = \frac{5}{2} + 3 = 5\frac{1}{2} \\ \text{artinya titik } & Q(0,5\frac{1}{2} ) \end{align} $
Sehingga jarak PQ $ = 5\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 5 $.
Jadi, jarak PQ adalah $ 5 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar