Soal dan Pembahasan UM UGM 2005 Matematika IPA

Nomor 1

Asimtot-asimtot dari hiperbola

$25x^2 - 4y^2 - 50x + 24y - 111 = 0$ memotong sumbu Y di titik P dan Q. Jarak

$PQ = ....$
A).

$4 \,$ B).

$4\frac{1}{2} \,$ C).

$5 \,$ D).

$5\frac{1}{2} \,$ E).

$6$

Nomor 2

Persamaan

$3\sin x - 4\cos x = 3 - 4p$ dapat diselesaikan bilamana :
A).

$p \leq 1 \,$
B).

$0 \leq p \leq 1 \,$
C).

$\frac{1}{2} \leq p \leq 1 \,$
D).

$-1 \leq p \leq 1 \,$
E).

$-\frac{1}{2} \leq p \leq 2 \,$

Nomor 3

DIketahui segitiga ABC dengan sudut A sebesar

$30^\circ$ , panjang AB = 2 cm, dan panjang AC = 6 cm. Luas segitiga ABC adalah ....
A). 6 cm

$^2$
B). 12 cm

$^2$
C). 3 cm

$^2$
D).

$3 \sqrt{3} \,$ cm

$^2$
E).

$6 \sqrt{3} \,$ cm

$^2$

Nomor 4

Jika

$\vec{p} , \vec{q}, \vec{r}$ dan

$\vec{s}$ berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajaran genjang PQRS dengan PQ sejajar SR, maka

$\vec{s}$
A).

$-\vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \,$
B).

$-\vec{p}-\vec{q}+\vec{r} \,$
C).

$\vec{p}-\vec{q}+\vec{r} \,$
D).

$\vec{p}-\vec{q}-\vec{r} \,$
E).

$\vec{p}+\vec{q}+\vec{r} \,$

Nomor 5

DIketahui limas segiempat T.ABCD dengan rusuk-rusuk tegak 15 cm, bidang alasnya ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 10 cm dan BC = 12 cm. Jika

$\alpha$ adalah sudut antara bidang TAB dengan bidang alas ABCD, maka

$\sin \alpha = ....$
A).

$\frac{2}{5}\sqrt{19} \,$ cm
B).

$\frac{1}{10}\sqrt{78} \,$ cm
C).

$\frac{4}{5}\sqrt{5} \,$ cm
D).

$\frac{1}{10}\sqrt{82} \,$ cm
E).

$\frac{2}{5}\sqrt{21} \,$ cm

Nomor 6

Himpunan jawab pertidaksamaan :

$|x-2|^2 - 4|x-2| < 12$ adalah ....
A).

$\emptyset \,$
B).

$\{ x | x < 8 \} \,$
C).

$\{ x | -8 < x < 4 \} \,$
D).

$\{ x | -4 < x < 8 \} \,$
E).

$\{ x | x \text{ bilangan real} \} \,$

Nomor 7

Untuk

$0 \leq x \leq \pi$ , penyelesaian pertaksamaan

$\cos 4x + 3\cos 2x - 2 < 0$ adalah ....
A).

$\frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3} \,$
B).

$\frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6} \,$
C).

$\frac{\pi}{6} < x < \frac{2\pi}{3} \,$
D).

$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} \,$
E).

$\frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{6}$

Nomor 8

Suku banyak

$f(x) = x^3 + ax^2 - bx - 5$ dibagi dengan

$(x-2)$ memberikan hasil bagi

$x^2 + 4x + 11$ dan sisa 17. Nilai

$a + b = ....$
A).

$-1 \,$ B).

$0 \,$ C).

$1 \,$ D).

$2 \,$ E).

$3$

Nomor 9

Nilai

$x$ yang memenuhi persamaan

$3.2^{4x} + 2^{2x} - 10 = 0$ adalah ....
A).

${}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \,$
B).

$\frac{1}{2}( {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3) \,$
C).

$\frac{1}{2} {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \,$
D).

${}^2 \log 5 - \frac{1}{2} {}^2 \log 3 \,$
E).

$2({}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 ) \,$

Nomor 10

Suatu tali dibagi menjadi tujuh bagian dengan panjang yang membentuk suatu barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yan gpaling panjang 192 cm, maka panjang tali semula sama dengan ....
A).

$379 \,$ B).

$381 \,$ C).

$383 \,$ D).

$385 \,$ E).

$387 \,$

Nomor 11

$\Delta ABC$ siku-siku di A,

$B_1$ pada BC sehingga

$AB_1 \bot BC$ ,

$B_2$ pada BC sehingga

$A_1B_2 \bot BC$ ,

$A_2$ pada AC sehingga

$B_2A_2 \bot AC$ , dan seterusnya. Jika

$AB = 6$ dan

$BC = 10$ , maka jumlah luas

$\Delta ABC$ ,

$\Delta B_1AC$ ,

$\Delta A_1B_1C_1$ ,

$\Delta B_2A_1C_1$ ,

$\Delta A_2B_2C$ , dan seterusnya adalah ....
A).

$\frac{600}{8} \,$ B).

$\frac{600}{9} \,$ C).

$60 \,$ D).

$50 \,$ E).

$\frac{600}{16}$

Nomor 12

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x\tan 5x}{\cos 2x - \cos 7x } = ....$
A).

$\frac{1}{9} \,$ B).

$-\frac{1}{9} \,$ C).

$\frac{2}{9} \,$ D).

$-\frac{2}{9} \,$ E).

$0$

Nomor 13

Persamaan garis singgung kurva

$y = \sqrt{4 - x^2}$ yang sejajar dengan garis lurus

$x + y - 4 = 0$ adalah ....
A).

$x + y = 0 \,$
B).

$x + y - \sqrt{2} = 0 \,$
C).

$x + y + \sqrt{2} = 0 \,$
D).

$x + y - 2\sqrt{2} = 0 \,$
E).

$x + y +2 \sqrt{2} = 0 \,$

Nomor 14

Lima pasang suami istri pergi ke suatu pesta pernikahan dengan menampung 2 buah mobil yang masing-masing dengan kapasitas 6 orang. Jika setiap pasang harus naik pada mobil yang sama, maka banyaknya cara pengaturan penumpang kedua buah mobil tersebut adalah ....
A).

$12 \,$ B).

$14 \,$ C).

$16 \,$ D).

$20 \,$ E).

$24 \,$

Nomor 15

Lingkaran dengan titik pusat

$(0,1)$ dan jari-jari 2 memotong hiperbola

$x^2 - 2y^2 + 3y - 1 = 0$ di titik

$(x_1,y_1)$ dan

$(x_2,y_2)$ . Nilai