Pembahasan Persamaan Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan $ 3\sin x - 4\cos x = 3 - 4p $ dapat diselesaikan bilamana :
A). $ p \leq 1 \, $
B). $ 0 \leq p \leq 1 \, $
C). $ \frac{1}{2} \leq p \leq 1 \, $
D). $ -1 \leq p \leq 1 \, $
E). $ -\frac{1}{2} \leq p \leq 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk persamaan trigonometri
$ \, \, \, \, \, a \sin f(x) + b \cos f(x) = c $
dapat diselesaikan dengan syarat
$ \, \, \, \, \, -\sqrt{a^2 + b^2} \leq c \leq \sqrt{a^2 + b^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ 3\sin x - 4\cos x = 3 - 4p $ :
Nilai $ a = 3 , b = -4 $ dan $ c = 3 - 4p $
Sehingga $ \sqrt{a^2 + b^2 } = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5 $
*). Menyelesaikan syaratnya :
$ \begin{align} -\sqrt{a^2 + b^2} \leq & c \leq \sqrt{a^2 + b^2} \\ -5 \leq 3 & - 4p \leq 5 \, \, \, \, \, \, \text{(kurang 3)} \\ -5 - 3 \leq 3 - & 4p - 3 \leq 5 - 3 \\ -8 \leq - & 4p \leq 2 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ 2 \geq & p \geq -\frac{1}{2} \end{align} $
dapat ditulis juga $ -\frac{1}{2} \leq p \leq 2 $.
Jadi, dapat diselesaikan jika $ -\frac{1}{2} \leq p \leq 2 . \, \heartsuit $

2 komentar:

  1. Hallo Pak Putu. Pak saya izin tanya, konsep dasar soal diatas asalnya darimana ya Pak?

    Yang modelnya kaya gitu saya tau nya untuk menyelesaikan soal mutlak.

    Kalau bentuknya bukan a sin f(x) + b cos f(x) apa bisa pake cara seperti di atas juga Pak?

    Terimakasih Pak Putu.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Bobbi,

      Terimakasih untuk pertanyaan dan kunjunngannya ke blog dunia-informa.

      *). Bentuk di atas hanya berlaku untuk $ a \sin f(x) + b\cos f(x) = c $.

      *). Penjelasan konsep dasarnya.
      -). Pada persamaan trigonometri berlaku
      $ a \sin f(x) + b\cos f(x) = k \cos [f(x) - \theta ] $
      dimana $ k = \sqrt{a^2 + b^2} $ dan $ \tan \theta = \frac{a}{b} $.
      -). Nilai $ \cos g(x) $ memiliki nilai antara $ -1 $ sampai $ 1 $ atau bisa kita tulis $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 $ dengan tidak bergantung dari sudutnya.
      -). Kita proses persamaannya :
      $ \begin{align}
      a \sin f(x) + b \cos f(x) & = c \\
      k \cos [ f(x) -\theta ] & = c \\
      \sqrt{a^2 + b^2 } \cos [ f(x) - \theta ] & = c \\
      \cos [ f(x) - \theta ] & = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 }}
      \end{align} $.

      Perhatikan nilai $ \cos [ f(x) - \theta ] $ :
      $ \begin{align}
      -1 \leq & \cos [ f(x) - \theta ] \leq 1 \\
      -1 \leq & \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \leq 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kalikan } \sqrt{a^2+b^2} ) \\
      -\sqrt{a^2+b^2} \leq & c \leq \sqrt{a^2+b^2}
      \end{align} $

      Jadi dapatlah sesuai konsep dasar di atas.

      Seperti itu penjelasannya.

      semoga bisa membantu.

      Hapus