Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Untuk $ 0 \leq x \leq \pi $ , penyelesaian pertaksamaan $ \cos 4x + 3\cos 2x - 1 < 0 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3} \, $
B). $ \frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6} \, $
C). $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{2\pi}{3} \, $
D). $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} \, $
E). $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus sudut ganda :
$ \, \, \, \, \, \, \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
*). Bentuk $ \cos f(x) $ mempunyai nilai berkisar :
$ \, \, \, \, -1 \leq \cos f(x) \leq 1 $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Tentukan akar-akar (pembuat nol),
2). Buat garis bilangan dan tandanya (+ atau $ - $),
3). Arsir daerah diminta :
Jika ketaksamaannya $ < 0 $ , maka arsir negatif
Jika ketaksamaannya $ > 0 $ , maka arsir positif.
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$ \begin{align} \cos 4x + 3\cos 2x - 1 & < 0 \\ \cos 2(2x) + 3\cos 2x - 1 & < 0 \\ (2\cos ^2 2x - 1) + 3\cos 2x - 1 & < 0 \\ \cos ^2 2x + 3\cos 2x - 2 & < 0 \\ (\cos 2x + 2)(2\cos 2x - 1) & < 0 \end{align} $
$ ( \cos 2x + 2 ) = 0 \rightarrow \cos 2x = -2 \, $ (tidak memenuhi)
$ (2\cos 2x - 1 ) = 0 \rightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} $
Untuk $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka
$ \cos 2x = \cos 60^\circ \rightarrow 2x = 60^\circ \rightarrow x = 30^\circ = \frac{\pi}{6} $
$ \cos 2x = \cos 300^\circ \rightarrow 2x = 300^\circ \rightarrow x = 150^\circ = \frac{5\pi}{6} $
Garis bilangannya :
 

Karena yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} $
Jadi, solusinya adalah $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} . \, \heartsuit $

2 komentar:

  1. Hallo Pak Putu. Pak itu di soal asli nya yang di kumpulan soal trigonometri no 115 , persamaan fungsi trigonometri nya

    cos 4x + 3 cos 2x - 2 < 0

    salah ketik sedikit sepertinya Pak.

    Terimakasih Pak.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @ Bobbi,

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.

      Terimakasih juga untuk koreksinya. Ini sangat membantu untuk memperbaiki kesalahan yang ada.

      Semoga terus bisa membantu.

      Hapus