Pembahasan Turunan UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Grafik fungsi $ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $ naik untuk nilai-nilai : ....
A). $ 0 < x < 1 \, $ atau $ x > 2 $
B). $ x < 0 \, $ atau $ 1 < x < 2 $
C). $ x < 0 \, $ atau $ x > 2 $
D). $ 0 < x < 2 \, $
E). $ x < 1 \, $ atau $ x > 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ naik pada interval $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) > 0 $.
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dan syarat fungsi naiknya :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{x^2}{x-1} = \frac{U}{V} \\ U & = x^2 \rightarrow U^\prime = 2x \\ V & = x - 1 \rightarrow V^\prime = 1 \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x ( x - 1) - x^2 . 1}{(x-1)^2} \\ & = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \\ f^\prime (x) & > 0 \, \, \, \, \text{(syaratnya)} \\ \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} & > 0 \\ & \text{(akar-akarnya)} \\ x(x-2) & = 0 \rightarrow x = 0 \vee x = 2 \\ (x - 1)^2 & = 0 \rightarrow x = 1 \end{align} $
Garis bilangannya :
 

Solusinya : $ \{ x < 0 \} \, $ atau $ \{ x > 2 \} $
Jadi, interval naiknya adalah $ \{ x < 0 \} \, $ atau $ \{ x > 2 \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar