Pembahasan Vektor UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika proyeksi vektor $ \vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} $ ke vektor $ \vec{v}=-4\vec{i}+8\vec{j} $ adalah vektor $ \vec{w} $, maka $ |\vec{w}| $ adalah ....
A). $ \sqrt{5} \, $ B). $ 5 \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan diketahui vektor-vektor :
$ \vec{a} = (a_1 , a_2, a_3 \, $ dan $ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3 ) $
*). Panjang proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ adalah
$ \, \, \, \, = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| $.
Dengan :
$ \frac{\vec{a}.\vec{b}} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $.
$ |\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
$ \vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} = (3 , 4) $
$ \vec{v}=-4\vec{i}+8\vec{j} = (-4,8) $
Sehingga :
$ \begin{align} \vec{u}.\vec{v} & = 3. (-4) + 4.8 \\ & = -12 + 32 = 20 \\ |\vec{v}| & = \sqrt{(-4)^2+8^2} \\ & = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \end{align} $
*). Menentukan panjang proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} = |\vec{w}| $ :
$ \begin{align} \text{Panjang } & = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ |\vec{w}| & = \left| \frac{20}{4\sqrt{5}} \right| \\ & = \frac{5}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ & = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, panjang proyeksinya adalah $ \sqrt{5} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar