Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 140

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui asimtot datar fungsi $ f(x)=\frac{\sqrt{ax+1}}{b-\sqrt{a+x}} $ dengan $ a > 0 $ adalah $ y = -2 $ , jika asimtot tegak dari $ f $ adalah $ x = x_1 $ dengan $ ax_1 = 20 $ , maka nilai $ a + b $ adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Terdapat asimtot tegak $ x = a $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ atau $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = -\infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan penyebutnya bernilai 0.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{ax+c}}{p- \sqrt{x + d}} = -\sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Salah satu asimtot mendatarnya adalah $ y = -2 $, artinya hasil limitnya adalah $ -2 $.
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{\sqrt{ax+1}}{b-\sqrt{a+x}} & = -2 \\ -\sqrt{a} & = -2 \\ a & = 4 \end{align} $
*). Persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = x_1 $ dengan $ ax_1 = 20 $ :
$\begin{align} ax_1 & = 20 \rightarrow 4x_1 = 20 \rightarrow x_1 = 5 \end{align} $
Sehingga persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 5 $ yang kita peroleh pada saat Penyebutnya bernilai 0.
*). Substitusi $ x = 5 $ dan $ a = 4 $ ke penyebutnya yang bernilai 0 :
$\begin{align} b-\sqrt{a+x} & = 0 \\ b-\sqrt{4+5} & = 0 \\ b-3 & = 0 \\ b & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b = 4 + 3 = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = 7 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar