Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 140

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola
$ -16x^2 + 32x + 9y^2-36y - 124 = 0 $ adalah .....
A). $ -4x + 3y = -2 \, $
B). $ -4x + 3y = 10 \, $
C). $ 4x - 3y = -2 \, $
D). $ 4x - 3y = 10 \, $
E). $ 4x + 3y = -2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $
atau persamaan asimtotnya juga dapat dicari dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 0 $
*). Kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{2})^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} -16x^2 + 32x + 9y^2-36y - 124 & = 0 \\ -16(x^2 - 2x) + 9(y^2-4y) & = 124 \\ -16[(x - 1)^2 - 1] + 9[(y-2)^2 - 4] & = 124 \\ -16(x - 1)^2 + 16 + 9(y-2)^2 - 36 & = 124 \\ -16(x - 1)^2 + 9(y-2)^2 & = 124 + 36 - 16 \\ -16(x - 1)^2 + 9(y-2)^2 & = 144 \, \, \, \, \, \text{(bagi 144)} \\ \frac{-16(x - 1)^2}{144} + \frac{9(y-2)^2}{144} & = \frac{144}{144} \\ -\frac{ (x - 1)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{16} & = 1 \end{align} $
Artinya : $ p = 1, q = 2, a = 4, b = 3 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{a}{b} (x-p) \\ y-2 & = \pm \frac{4}{3} (x-1) \\ y-2 = \frac{4}{3} (x-1) & \vee y-2 = - \frac{4}{3} (x-1) \\ 3y-6 = 4 (x-1) & \vee 3y-6 = -4(x-1) \\ 3y-6 = 4x - 4 & \vee 3y-6 = -4x + 4 \\ 4x - 3y = -2 & \vee 4x + 3y = 10 \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah :
$ 4x - 3y = -2 $ atau $ 4x + 3y = 10 $ .
Jadi, yang ada di option adalah $ 4x - 3y = -2 . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Jika teman-teman lupa dengan rumus persamaan asimtotnya, maka dari persamaan hiperbola bakunya, kita ganti 1 dengan 0.
-). Persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} -\frac{ (x - 1)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{16} & = 1 \\ -\frac{ (x - 1)^2}{9} + \frac{(y-2)^2}{16} & = 0 \\ \frac{(y-2)^2}{16} & = \frac{ (x - 1)^2}{9} \\ (y-2)^2 & = \frac{16}{9}(x-1)^2 \\ (y-2) & = \pm \sqrt{\frac{16}{9}(x-1)^2} \\ (y-2) & = \pm \frac{4}{3}(x-1) \end{align} $
(hasilnya sama dengan asimtot di atas).

Tidak ada komentar:

Posting Komentar