Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 140

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung dari $ f(x) = \sqrt{x + a^2} $ , $ a > 0 $ di $ x = 3a^2 $ sejajar dengan garis $ 2y - 2ax + 5 = 0 $. Jika garis tersebut memotong $ y $ di $ (0,b) $, maka nilai $ b $ adalah ......
A). $ \frac{3}{8} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{5}{8} \, $ D). $ \frac{3}{4} \, $ E). $ 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x - x_1) $
*). gradien garis $ ax + by = c \rightarrow m = \frac{-a}{b} $
*). Turunan fungsi bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x) }{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi $ x_1 = 3a^2 $ ke fungsinya :
$ \begin{align} y & = \sqrt{x + a^2} \rightarrow y = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \end{align} $
*). Titik singgungnya adalah $ (x_1,y_1) = (3a^2,2a) $
*). Menentukan turunan dan gradien garis singgungnya di $ x_1 = 3a^2 $ :
$ \begin{align} f(x) & = \sqrt{x + a^2} \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{2\sqrt{x + a^2} } \\ m & = f^\prime (3a^2) \\ m & = \frac{1}{2\sqrt{3a^2 + a^2} } = \frac{1}{4a} \end{align} $
*). Gradien garis $ 2y - 2ax + 5 = 0 \rightarrow m = \frac{-(-2a)}{2} = a $
*). Karena garis singgung sejajar garis $ 2y - 2ax + 5 = 0 $, maka gradiennya sama :
$ \begin{align} m & = \frac{1}{4a} \rightarrow a = \frac{1}{4a} \rightarrow a^2 = \frac{1}{4} \rightarrow a = \pm \frac{1}{2} \end{align} $
Karena $ a > 0 $ , yang memenuhi $ a = \frac{1}{2} $.
Sehingga nilai $ 2a = 2.\frac{1}{2} = 1 $ dan $ 3a^2 = 3.\frac{1}{4} = \frac{3}{4} $
*). Menyusun PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - 2a & = \frac{1}{2}(x - 3a^2) \\ y - 1 & = \frac{1}{2} \left( x - \frac{3}{4} \right) \end{align} $
*). Substitusi titik $ (0,b) $ yang dilalui oleh garis singgungnya :
$ \begin{align} y - 1 & = \frac{1}{2} \left( x - \frac{3}{4} \right) \\ b - 1 & = \frac{1}{2} \left( 0 - \frac{3}{4} \right) \\ b - 1 & = - \frac{3}{8} \\ b & = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{5}{8} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar