Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ y = a + 1 $ adalah asimtot datar dan $ x = x_1 $ adalah asimtot tegak dari kurva $ y = \frac{2ax^3-4ax^2+x-2}{x^3+2x^2-a^2x-2a^2} $ dengan $ x_1 > 0 $ , maka nilai dari $ 2x_1^2 - x_1 = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^3 + ...}{dx^3 + ... } = \frac{c}{d} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan asimtot mendatarnya $ y = a + 1 $, artinya hasil limitnya adalah $ a + 1 $
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{2ax^3-4ax^2+x-2}{x^3+2x^2-a^2x-2a^2} \\ a+ 1 & = \frac{2a }{1} \\ a & = 1 \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi :
$ y = \frac{2ax^3-4ax^2+x-2}{x^3+2x^2-a^2x-2a^2} \rightarrow y = \frac{2x^3-4x^2+x-2}{x^3+2x^2-x-2} $
*). Persamaan asimtot tegaknya adalah akar-akar dari penyebut fungsinya :
$\begin{align} x^3+2x^2-x-2 & = 0 \\ (x - 1)(x^2 + 3x + 2) & = 0 \\ (x - 1)(x+1)(x+2)) & = 0 \\ x = 1, x = -1 , x & = -2 \end{align} $
Karena yang diminta positif, maka persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 1 $ sehingga $ x_1 = 1 $
*). Menentukan nilai $ 2x_1^2 - x_1 $ :
$ 2x_1^2 - x_1= 2.1^2 - 1 = 2 - 1 = 1 $
Jadi, nilai $ 2x_1^2 - x_1 = 1 . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Untuk memfaktorkan bisa menggunakan cara HORNER
Koefisien bentuk $ x^3+2x^2-x-2 \rightarrow 1, 2, -1, -2 $
$ \begin{array}{c|cccc} & 1 & 2 & -1 & -2 & \\ 1 & * & 1 & 3 & 2 & + \\ \hline & 1 & 3 & 2 & 0 & \end{array} $
Artinya $ x^3+2x^2-x-2 = (x -1)(x^2 + 3x + 2) $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar