Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola :
$ 9x^2 + 18x - 16y^2 - 32y - 151 = 0 $ adalah ....
A). $ -3x + 4y = -7 \, $
B). $ -3x + 4y = 1 \, $
C). $ 3x - 4y = -7 \, $
D). $ 3x + 4y = -7 \, $
E). $ 3x + 4y = 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
atau persamaan asimtotnya juga dapat dicari dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
*). Kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{2})^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} 9x^2 + 18x - 16y^2 - 32y - 151 & = 0 \\ 9(x^2 + 2x) - 16(y^2 +2y) & = 151 \\ 9[(x+1)^2 - 1] - 16[(y+1)^2 -1] & = 151 \\ 9(x+1)^2 - 9 - 16(y+1)^2 + 16 & = 151 \\ 9(x+1)^2 - 16(y+1)^2 & = 151 + 9 - 16 \\ 9(x+1)^2 - 16(y+1)^2 & = 144 \, \, \, \, \, \text{(bagi 144)} \\ \frac{9(x+1)^2}{144} - \frac{16(y+1)^2}{144} & = \frac{144}{144} \\ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{4^2} - \frac{(y+1)^2}{3^2} & = 1 \end{align} $
Artinya : $ p = -1, q = -1, a = 4, b = 3 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y+1 & = \pm \frac{3}{4} (x+1) \\ y+1 = \frac{3}{4} (x+1) & \vee y+1 = - \frac{3}{4} (x+1) \\ 4y+4 = 3x + 3 & \vee 4y+4 = -3x - 3 \\ 3x - 4y = 1 & \vee 3x + 4y = -7 \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah :
$ 3x - 4y = 1 $ atau $ 3x + 4y = -7 $ .
Jadi, yang ada di option adalah $ 3x + 4y = -7 . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Jika teman-teman lupa dengan rumus persamaan asimtotnya, maka dari persamaan hiperbola bakunya, kita ganti 1 dengan 0.
-). Persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+1)^2}{3^2} & = \frac{(x+1)^2}{4^2} \\ (y+1)^2 & = \frac{3^2}{4^2} (x+1)^2 \\ (y+1) & = \pm \sqrt{ \frac{3^2}{4^2} (x+1)^2 } \\ (y+1) & = \pm \frac{3}{4} (x+1) \end{align} $
(hasilnya sama dengan asimtot di atas).

Tidak ada komentar:

Posting Komentar