Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis singgung dari kurva $ y = \frac{x}{1-x} $ pada $ x = a $ memotong garis $ y = -x $ di titik $ (b, -b) $ , maka $ b = ..... $
A). $ \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2} \, $ B). $ \frac{a^2}{1-a} \, $
C). $ \frac{a^2-1}{2a} \, $ D). $ \frac{a^2}{2 + a} \, $ E). $ \frac{a^2}{2-a} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x - x_1) $
*). Turunan fungsi perkalian :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi $ x_1 = a $ ke fungsinya :
$ \begin{align} y & = \frac{x}{1-x} \rightarrow y = \frac{a}{1-a} \end{align} $
*). Titik singgungnya adalah $ (x_1,y_1) = \left( a,\frac{a}{1-a} \right) $
*). Menentukan turunan dan gradien garis singgungnya di $ x_1 = a $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{x}{1-x} \\ f^\prime (x) & = \frac{1.(1-x) - x.(-1)}{(1-x)^2} \\ m & = f^\prime (a) = \frac{1}{(1-a)^2} \\ \end{align} $
*). Menyusun PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - \frac{a}{1-a} & = \frac{1}{(1-a)^2}.(x -a) \end{align} $
*). Karena garis singgung berpotongan dengan $ y = -x $ di titik $ (b, -b) $, maka titik $ (b,-b) $ juga dilalui oleh garis singgungnya sehingga bisa kita substitusi ke gari singgungnya :
$ \begin{align} y - \frac{a}{1-a} & = \frac{1}{(1-a)^2}.(x -a) \\ -b - \frac{a}{1-a} & = \frac{1}{(1-a)^2}.(b -a) \\ (1-a)^2 (-b - \frac{a}{1-a} ) & = (b -a) \\ -b(1-a)^2 - a(1-a) & = (b -a) \\ a - a(1-a) & = b + b(1-a)^2 \\ a - a + a^2 & = b(1+(1-a)^2) \\ a^2 & = b(a^2 - 2a + 2) \\ b & = \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar