Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ dengan $ \vec{b} = (-2, 1) $ , $ \vec{b} \bot \vec{c} $ , dan $ \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=0 $. Jika luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ adalah $ \sqrt{5} $ , maka panjang vektor $ \vec{a} $ adalah ......
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ \sqrt{6} \, $ E). $ 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Vektor $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $ maka $ \vec{u}.\vec{v}= 0 $.
*). Panjang vektor $ \vec{u} = (x , y) $ yaitu :
Panjang $ \vec{u} = |\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2} $
*). Rumus pengkuadratan :
$ (\vec{u}-\vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2\vec{u}.\vec{v} $
Karena $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $ maka :
$ (\vec{u}-\vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 $
*). Perkalian dot dua vektor yang sama menghasilkan panjang.
$ \vec{P}.\vec{P} = (\vec{P})^2 = |\vec{P}|^2 $
*). Luas segitiga : Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{b} = (-2,1) $ :
$ |\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 } = \sqrt{5} $
*). Karena $ \vec{b} $ tegak lurus $ \vec{c} $ maka $ \vec{b}.\vec{c} = 0 $.
*). Ilustrasi gambar :
$ \vec{b} $ tegak lurus $ \vec{c} $ dan $ \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=0 \rightarrow \vec{a} = \vec{b}+(-\vec{c}) $ sehingga gambar ketiga vektor yaitu :
 

Segitiga yang dibentuk oleh ujung-ujung ketiga vektor adalah segitiga ABC siku-siku di A.
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{c} $ dengan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ \sqrt{5} & = \frac{1}{2} \times |\vec{b}| \times |\vec{c}| \\ \sqrt{5} & = \frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times |\vec{c}| \\ 1 & = \frac{1}{2} \times |\vec{c}| \\ 2 & = |\vec{c}| \end{align} $
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{a} $ :
$\begin{align} \vec{a} & = \vec{b}+(-\vec{c}) \\ (\vec{a})^2 & = (\vec{b} -\vec{c})^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 \\ |\vec{a}| & = \sqrt{ |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 } \\ & = \sqrt{ (\sqrt{5})^2 + 2^2 } \\ & = \sqrt{ 5 + 4 } = \sqrt{ 9 } = 3 \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{a} $ adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar