Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persamaan $ \sec \theta \left( \sec \theta (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right) = 1 $. Jika $ \theta _1 $ dan $ \theta _2 $ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka $ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -0,5 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 0,5 \, $ E). $ 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar Trigonometri :
$ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta } $ dan $ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} \sec \theta \left( \sec \theta (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right) & = 1 \\ \frac{1}{\cos \theta} \left( \frac{1}{\cos \theta} (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right) & = 1 \\ \frac{1}{\cos \theta} . \frac{1}{\cos \theta} (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}.\frac{1}{\cos \theta}. \sin \theta & = 1 \\ \frac{(\sin \theta)^2 }{(\cos \theta)^2} + \frac{2}{3}\sqrt{3}.\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - 1 & = 0 \\ \tan ^2 \theta + \frac{2}{3}\sqrt{3}\tan \theta - 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3\tan ^2 \theta + 2\sqrt{3}\tan \theta - 3 & = 0 \\ (3\tan \theta - \sqrt{3} )(\tan \theta + \sqrt{3} ) & = 0 \\ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \vee \tan \theta & = -\sqrt{3} \\ \tan \theta _1 = \frac{\sqrt{3}}{3} \vee \tan \theta _2 & = -\sqrt{3} \end{align} $
Sehingga nilai :
$ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = \frac{\sqrt{3}}{3} . (-\sqrt{3} ) = -1 $
Jadi, nilai $ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = -1 . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Kita juga bisa menggunakan rumus perkalian akar pada persamaan kuadrat yaitu $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*). Bentuk $ \tan ^2 \theta + \frac{2}{3}\sqrt{3}\tan \theta - 1 = 0 $
$ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1 $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar