Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola
$ 4y^2 - x^2 + 16y + 6x + 3 = 0 $ adalah .....
A). $ x + 2y + 5 = 0 \, $
B). $ x - 2y + 1 = 0 \, $
C). $ x - 2y + 7 = 0 \, $
D). $ x + 2y + 1 = 0 \, $
E). $ x + 2y - 1 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{a}{b} (x-p) $
atau persamaan asimtotnya juga dapat dicari dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 0 $
*). Kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{2})^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} 4y^2 - x^2 + 16y + 6x + 3 & = 0 \\ -(x^2 - 6x) + 4(y^2 + 4y) & = -3 \\ -[(x-3)^2 - 9] + 4[(y+2)^2 - 4] & = -3 \\ - (x-3)^2 + 9 + 4 (y+2)^2 - 16 & = -3 \\ - (x-3)^2 + 4 (y+2)^2 & = -3 - 9 + 16 \\ - (x-3)^2 + 4 (y+2)^2 & = 4 \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ \frac{-(x - 3)^2}{4} + \frac{4(y+2)^2}{4} & = \frac{4}{4} \\ -\frac{(x - 3)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{1} & = 1 \\ -\frac{(x - 3)^2}{2^2} + \frac{(y+2)^2}{1^2} & = 1 \\ \end{align} $
Artinya : $ p = 3, q = -2, a = 1, b = 2 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{a}{b} (x-p) \\ y- (-2) & = \pm \frac{1}{2} (x-3) \\ y+2 & = \pm \frac{1}{2} (x-3) \\ y+2 = \frac{1}{2} (x-3) & \vee y+2 = -\frac{1}{2} (x-3) \\ 2y+4 = x - 3 & \vee 2y+ 4 = -x + 3 \\ x - 2y - 7 = 0 & \vee x + 2y + 1 = 0 \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah :
$ 4x - 3y = -2 $ atau $ 4x + 3y = 10 $ .
Jadi, yang ada di option adalah $ 4x - 3y = -2 . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Jika teman-teman lupa dengan rumus persamaan asimtotnya, maka dari persamaan hiperbola bakunya, kita ganti 1 dengan 0.
-). Persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} -\frac{(x - 3)^2}{2^2} + \frac{(y+2)^2}{1^2} & = 1 \\ -\frac{(x - 3)^2}{2^2} + \frac{(y+2)^2}{1^2} & = 0 \\ \frac{(y+2)^2}{1} & = \frac{(x - 3)^2}{4} \\ (y+2)^2 & = \frac{1}{4}(x - 3)^2 \\ y + 2 & = \pm \sqrt{\frac{1}{4}(x - 3)^2 } \\ y + 2 & = \pm \frac{1}{2}(x - 3) \end{align} $
(hasilnya sama dengan asimtot di atas).

Tidak ada komentar:

Posting Komentar