Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya solusi yang memenuhi $ \sec x. \csc x - 3\sec x + 2 \tan x = 0 $ adalah ......
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sec x = \frac{1}{\cos x} $ , $ \csc x = \frac{1}{\sin x} $ , $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
*). Persamaan trigonometri :
bentuk $ \sin x = \sin \theta $ memiliki solusi :
$ x = \theta + 2k\pi \, $ dan $ x = (180^\circ - \theta) + 2k\pi $
dengan $ k $ bilangan bulat.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \sec x. \csc x - 3\sec x + 2 \tan x & = 0 \\ \frac{1}{\cos x}. \frac{1}{\sin x} - 3. \frac{1}{\cos x} + 2 . \frac{\sin x}{\cos x} & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \sin x \cos x) \\ 1 - 3\sin x + 2 \sin ^2 x & = 0 \\ (2\sin x - 1 )(\sin x - 1 ) & = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \vee \sin x & = 1 \end{align} $
-). Untuk $ \sin x = 1 \rightarrow x = \frac{\pi}{2} $
$ x = \frac{\pi}{2} $ tidak memenuhi syarat karena $ \cos \frac{\pi}{2} = 0 $ sementara pada soal ada bentuk $ \frac{1}{\cos x } = \frac{1}{0} \, $ tidak terdefinisi (tidak boleh per nol).
-). Untuk $ \sin x = \frac{1}{2} \rightarrow \sin x = \sin 30^\circ $ memiliki solusi
$ x = \theta + 2k\pi \rightarrow x = 30^\circ + 2k\pi \, $ dan
$ x = (180^\circ - \theta) + 2k\pi \rightarrow x = 150^\circ + 2k\pi $
*). Dari bentuk $ x = 30^\circ + 2k\pi $ dan $ x = 150^\circ + 2k\pi $, maka solusinya ada sebanyak tak hingga karena $ k $ bisa kita ganti dengan semua bilangan bulat. Namun, pada optionnya tidak ada jawaban sebanyak tak hingga, artinya soal ini masih kurang lengkap, seharusnya $ x $ ada pada interval tertentu, kita misalkan $ 0 \leq x \leq 2\pi $, sehingga solusi yang memenuhi adalah $ x = 30^\circ $ dan $ x = 150^\circ $.
Jadi, ada dua solusi yang memenuhi untuk $ 0 \leq x \leq 2\pi . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar