Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui garis singgung $ f(x) = \frac{x^2 \sin x}{\pi} $ di titik $ x = \frac{\pi}{2} $ berpotongan dengan garis $ y = 3x - \pi $ di titik $ (a,b) $ , maka $ a + b = .... $
A). $ \pi \, $ B). $ \frac{3}{4}\pi \, $ C). $ \frac{1}{2}\pi \, $ D). $ \frac{1}{4}\pi \, $ E). $ \frac{1}{8}\pi \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x - x_1) $
*). Turunan fungsi perkalian :
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U . V^\prime $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi $ x_1 = \frac{\pi}{2} $ ke fungsinya :
$ \begin{align} y & = \frac{x^2 \sin x}{\pi} \rightarrow y = \frac{(\frac{\pi}{2})^2 \sin \frac{\pi}{2}}{\pi} = \frac{\frac{\pi ^2}{4}. 1}{\pi} = \frac{\pi}{4} \end{align} $
*). Titik singgungnya adalah $ (x_1,y_1) = \left( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4} \right) $
*). Menentukan turunan dan gradien garis singgungnya di $ x_1 = \frac{\pi}{2} $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{x^2 \sin x}{\pi} = \frac{1}{\pi}(x^2 \sin x) \\ f^\prime (x) & = \frac{1}{\pi}(2x \sin x + x^2. \cos x) \\ m & = f^\prime (\frac{\pi}{2}) \\ m & = \frac{1}{\pi}(2. \frac{\pi}{2} \sin \frac{\pi}{2} + (\frac{\pi}{2})^2. \cos \frac{\pi}{2} ) \\ & = \frac{1}{\pi}(\pi . 1 + \frac{\pi ^2}{4} . 0 ) = 1 \end{align} $
*). Menyusun PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - \frac{\pi}{4} & = 1.(x - \frac{\pi}{2}) \\ y & = x - \frac{\pi}{4} \end{align} $
*). Menentukan titik potong kedua garis yaitu $ y_2 = x - \frac{\pi}{4} $ dan $ y_1 = 3x - \pi $ dengan cara substitusi :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 3x - \pi & = x - \frac{\pi}{4} \\ 2x & = \frac{3\pi}{4} \\ x & = \frac{3\pi}{8} \end{align} $
*). Substitusi $ x = \frac{3\pi}{8} $ ke $ y = x - \frac{\pi}{4} $ :
$ \begin{align} y & = x - \frac{\pi}{4} \\ y & = \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{4} \\ y & = \frac{3\pi}{8} - \frac{2\pi}{8} \\ y & = \frac{\pi}{8} \end{align} $
Sehingga titik potong kedua garis adalah $ (a,b) = \left( \frac{3\pi}{8} ,\frac{\pi}{8} \right) $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$ \begin{align} a + b & = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = \frac{\pi}{2} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar