Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 141

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \, \frac{x\cot ^2 x}{1 - \sin x} = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{\pi}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
dimana $ 1 - \sin ^2 x = (1 - \sin x)(1+ \sin x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x\cot ^2 x}{1 - \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x \frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x} }{1 - \sin x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x \cos ^2 x }{(1 - \sin x).\sin ^2 x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x (1 - \sin x)(1 + \sin x) }{(1 - \sin x).\sin ^2 x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \, \frac{x (1 + \sin x) }{ \sin ^2 x } \\ & = \frac{\frac{\pi}{2} . (1 + \sin \frac{\pi}{2}) }{ \sin ^2 \frac{\pi}{2} } \\ & = \frac{\frac{\pi}{2} . (1 + 1) }{ 1 } = \frac{\pi}{2} . 2 = \pi \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \pi . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar