Pembahasan Fungsi Turun Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = (x^2-a)(2x+b)^3 $ turun pada interval $ -1 < x < \frac{2}{5} $ , maka nilai $ ab = ..... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat Fungsi Turun : $ f^\prime (x) < 0 $ .
*). Turunan fungsi :
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
$ y = U.V \rightarrow y^\prime = U^\prime. V + U . V^\prime $
*). Pertidaksamaan $ f(x) < 0 $ memiliki penyelesaian $ a < x < b $ , artinya $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari $ f(x) = 0 $ .
*). Operasi akar-akar $ ax^2 + bx + c = 0 $ :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ \begin{align} y & = (x^2-a)(2x+b)^3 = U.V \\ U & = (x^2-a) \rightarrow U^\prime = 2x \\ V & = (2x+b)^3 \rightarrow V^\prime = 3(2x+b)^2. 2 = 6(2x+b)^2 \\ y^\prime & = U^\prime . V + U. V^\prime \\ & = 2x. (2x+b)^3 + (x^2 - a). 6(2x+b)^2 \\ & = 2(2x+b)^2 [x(2x+b) + 3(x^2 - a)] \\ & = 2(2x+b)^2 (5x^2 + bx - 3a) \end{align} $
*). Syarat fungsi $ y = (x^2-a)(2x+b)^3 $ turun :
$ y^\prime < 0 \rightarrow (2x+b)^2 (5x^2 + bx - 3a) < 0 $
Karena nilai $ 2(2x+b)^2 $ selalu positif,
maka haruslah $ (5x^2 + bx - 3a) < 0 $
*). Sesuai pada soal, $ (5x^2 + bx - 3a) < 0 $ solusinya adalah $ -1 < x < \frac{2}{5} $ , artinya $ x_1 = -1 $ dan $ x_2 = \frac{2}{5} $ adalah akar-akar dari persamaan $ 5x^2 + bx - 3a = 0 $ dengan $ a = 5 $ , $ b = b $ , dan $ c = -3a $.
*). Nilai $ a $ dan $ b $ dengan operasi akar-akar:
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{5} \rightarrow -1 + \frac{2}{5} = \frac{-b}{5} \rightarrow b = 3 $
$ x_1 . x_2 = \frac{-3a}{5} \rightarrow -1 . \frac{2}{5} = \frac{-3a}{5} \rightarrow a = \frac{2}{3} $
Sehingga nilai : $ ab = \frac{2}{3}. 3 = 2 $
Jadi, nilai $ ab = 2 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar