Pembahasan Turunan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Diberikan grafik fungsi $ f(x) = 3x^\frac{5}{3} - 15x^\frac{2}{3} $ , maka ......
(1). $ f^\prime (0) \, $ tidak ada
(2). fungsi naik di selang $ (2, \infty ) $
(3). fungsi turun di selang $ (0,2) $
(4). terjadi minimum relatif di titik $ (2, -9\sqrt[3]{4} ) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Terdapat fungsi $ y = f(x) $ :
-). Nilai maksimum/minimum relatif diperoleh saat $ f^\prime (x) = 0 $
Misalkan hasilnya adalah $ x = a $. Kita cek jenis stasionernya :
Jika $ f^{\prime \prime }(a) > 0 $, maka jenisnya minimum relatif,
Jika $ f^{\prime \prime }(a) < 0 $, maka jenisnya maksimum relatif,
Jika $ f^{\prime \prime }(a) = 0 $, maka jenisnya titik belok.
-). Syarat fungsi turun : $ f^\prime (x) < 0 $
-). Syarat fungsi naik : $ f^\prime (x) > 0 $
*). Suatu fungsi tidak terdefinisi (tidak ada) jika hasilnya per nol.
*). Turunan fungsi : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ \begin{align} f(x) & = 3x^\frac{5}{3} - 15x^\frac{2}{3} \\ f^\prime (x) & = \frac{5}{3}.3.x^\frac{2}{3} - \frac{2}{3}.15.x^{-\frac{1}{3}} \\ & = 5x^\frac{2}{3} - 10x^{-\frac{1}{3}} \\ & = 5x^\frac{2}{3} - \frac{10}{x^\frac{1}{3}} \\ & = \frac{5x - 10}{x^\frac{1}{3}} \\ f^{\prime \prime }(x) & = \frac{5x^\frac{1}{3} - (5x - 10). \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} }{x^\frac{2}{3}} \end{align} $
*). Kita cek masing-masing pernyataan :
(1). $ f^\prime (0) = \frac{5.0 - 10}{0^\frac{1}{3}} = \frac{-10}{0} $
Karena bentuknya per nol, maka $ f^\prime (0) $ tidak ada (tidak terdefinisi).
(pernyataan (1) BENAR)
(4). Syarat stasioner : $ f^\prime (x) = 0 $ :
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow \frac{5x - 10}{x^\frac{1}{3}} = 0 \rightarrow x = 2 $
Nilai fungsinya : $ f(x) = 3x^\frac{5}{3} - 15x^\frac{2}{3} = 3x\sqrt[3]{x^2} - 15\sqrt[3]{x^2} = (3x - 15)\sqrt[3]{x^2} $
$ f(2) = (3.2-15)\sqrt[3]{2^2} = -9\sqrt[3]{4} $
Jenis stasionernya :
$ f^{\prime \prime }(2) = \frac{5.2^\frac{1}{3} - (5.2 - 10). \frac{1}{3}.2^{-\frac{2}{3}} }{2^\frac{2}{3}} = \frac{5}{2^\frac{1}{3}} > 0 $
Sehingga jenisnya minimum relatif. (Pernyataan (4) BENAR).
*). Karena pernyataan (1) dan (4) BENAR, maka berdasarkan petunjuk C jawabannya adalah option E yaitu semua pernyataan BENAR.
*). Mari kita cek pernyataan (2) dan (3) :
-). Fungsi naik : $ f^\prime (x) > 0 $ (positif) dan fungsi turun : $ f^\prime (x) < 0 $ (negatif)
$ f^\prime (x) > 0 \rightarrow \frac{5x - 10}{x^\frac{1}{3}} > 0 $
Akar-akarnya :
Pembilang : $ 5x - 10 = 0 \rightarrow x = 2 $
Penyebutnya : $ x^\frac{1}{3} = 0 \rightarrow x = 0 $.
Garis bilangannya :

-). Interval naik : $ x < 0 $ atau $ x > 2 $ yang dapat kita tulis $( -\infty, 0) $ atau $ (2, \infty) $
-). Interval turun : $ 0 < x < 2 $ yang dapat ditulis $ (0,2) $.
Sehingga pernyataan (2) dan (3) BENAR.
Jadi, jawabannya semua BENAR $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar