Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 911

Soal yang Akan Dibahas
Nilai-nilai $ x $ yang memenuhi $ {}^2 \log x - {}^\frac{1}{x} \log \left( \frac{1}{2} \right) \geq 0 $ adalah ....
A). $ \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \, $
B). $ 1 \leq x \leq 2 \, $
C). $ 1 < x \leq 2 \, $
D). $ \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \, $ atau $ x > 2 $
E). $ \frac{1}{2} \leq x < 1 \, $ atau $ x \geq 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.
*). Syarat logaritma :
$ {}^a \log b = c $ , syaratnya : $ b > 0 , a > 0 , a \neq 1 $
*). Sifat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b \, $ dan $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log x = b \rightarrow x = a^b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Syarat logaritmanya : $ {}^2 \log x - {}^\frac{1}{x} \log \left( \frac{1}{2} \right) \geq 0 $
$ x > 0 $ dan $ \frac{1}{x} \neq 1 \rightarrow x \neq 1 $
*). Menentukan akar-akar :
$ \begin{align} {}^2 \log x - {}^\frac{1}{x} \log \left( \frac{1}{2} \right) & \geq 0 \\ {}^2 \log x - {}^{x^{-1}} \log 2^{-1} & \geq 0 \\ {}^2 \log x - \frac{-1}{-1} . {}^x \log 2 & \geq 0 \\ {}^2 \log x - {}^x \log 2 & \geq 0 \\ {}^2 \log x - \frac{1}{ {}^2 \log x } & \geq 0 \\ \frac{({}^2 \log x)^2 - 1 }{ {}^2 \log x } & \geq 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
Pembilang :
$({}^2 \log x)^2 - 1 = 0 \rightarrow ({}^2 \log x)^2 = 1 \rightarrow {}^2 \log x = \pm 1 $
$ {}^2 \log x = 1 \rightarrow x = 2^1 = 2 $
$ {}^2 \log x = -1 \rightarrow x = 2^{-1} = \frac{1}{2} $
Penyebutnya :
$ {}^2 \log x = 0 \rightarrow x = 2^0 = 1 $.
Garis bilangannya :
 

*). Karena yang diminta $ \geq 0 $ , maka solusinya adalah daerah positif dan memenuhi syarat $ x > 0 , x \neq 1 $ .
HP $ = \{ \frac{1}{2} \leq x < 1 \vee x \geq 2 \} $ .
Jadi, HP $ = \{ \frac{1}{2} \leq x < 1 \vee x \geq 2 \} . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar