Soal yang Akan Dibahas
Misalkan selisih akar-akar $ x^2 + 2x - a = 0 $ dan selisih akar-akar $ x^2-8x+(a-1)=0 $
bernilai sama, maka perkalian seluruh akar-akar kedua persamaan tersebut adalah .....
A). $ -56 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 56 \, $ E). $ 72 $
A). $ -56 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 56 \, $ E). $ 72 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) : $ ax^2 + bx + c = 0 $
memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
*). Operasi akar-akarnya :
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $ dan $ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $ .
*). Persamaan kuadrat (PK) : $ ax^2 + bx + c = 0 $
memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
*). Operasi akar-akarnya :
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $ dan $ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $ .
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memisalkan akar-akar dari masing-masing PK dan operasinya :
-). PK1 : $ x^2 + 2x - a = 0 $ akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $ .
$ x_1.x_2 = \frac{-a}{1} = -a $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{4 + 4a}}{1} = \sqrt{4 + 4a} $
-). PK2 : $ x^2 - 8x + (a-1) = 0 $ akar-akarnya $ x_3 $ dan $ x_4 $ .
$ x_3.x_4 = \frac{a-1}{1} = a-1 $
$ x_3 - x_4 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{64 - 4(a-1)}}{1} = \sqrt{68 - 4a} $
*). Selisih akar-akar kedua PK sama :
$\begin{align} x_1 - x_2 & = x_3 - x_4 \\ \sqrt{4 + 4a} & = \sqrt{68 - 4a} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 4 + 4a & = 68 - 4a \\ 8a & = 64 \\ a & = 8 \end{align} $
*). perkalian seluruh akar-akar kedua PK :
$\begin{align} (x_1.x_2) . (x_3.x_4) & = -a. (a-1) \\ x_1.x_2.x_3.x_4 & = -8 . (8-1) \\ & = -8.7 = -56 \end{align} $
Jadi, hasil perkalian seluruh akar-akar adalah $ -56 . \, \heartsuit $
*). Memisalkan akar-akar dari masing-masing PK dan operasinya :
-). PK1 : $ x^2 + 2x - a = 0 $ akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $ .
$ x_1.x_2 = \frac{-a}{1} = -a $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{4 + 4a}}{1} = \sqrt{4 + 4a} $
-). PK2 : $ x^2 - 8x + (a-1) = 0 $ akar-akarnya $ x_3 $ dan $ x_4 $ .
$ x_3.x_4 = \frac{a-1}{1} = a-1 $
$ x_3 - x_4 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{64 - 4(a-1)}}{1} = \sqrt{68 - 4a} $
*). Selisih akar-akar kedua PK sama :
$\begin{align} x_1 - x_2 & = x_3 - x_4 \\ \sqrt{4 + 4a} & = \sqrt{68 - 4a} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 4 + 4a & = 68 - 4a \\ 8a & = 64 \\ a & = 8 \end{align} $
*). perkalian seluruh akar-akar kedua PK :
$\begin{align} (x_1.x_2) . (x_3.x_4) & = -a. (a-1) \\ x_1.x_2.x_3.x_4 & = -8 . (8-1) \\ & = -8.7 = -56 \end{align} $
Jadi, hasil perkalian seluruh akar-akar adalah $ -56 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.