Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ a, b $ , dan $ c $ adalah bilangan real dimana $ \frac{a}{b} > 1 $ dan
$ \frac{a}{c} < -1 $ . Pernyataan berikut yang BENAR adalah .....
A). $ a + b - c > 0 \, $
B). $ a > b \, $
C). $ (a-c)(b-c) > 0 \, $
D). $ a - b + c > 0 \, $
E). $ abc > 0 $
A). $ a + b - c > 0 \, $
B). $ a > b \, $
C). $ (a-c)(b-c) > 0 \, $
D). $ a - b + c > 0 \, $
E). $ abc > 0 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat pertidaksamaan pecahan :
Misalkan terdapat bilangan real $ A $ dan $ B $ :
(i). Jika $ \frac{A}{B} > 0 $ , maka ($ A > 0 $ dan $ B > 0 $) atau ($A < 0 $ dan $ B < 0$).
(ii). Jika $ \frac{A}{B} < 0 $ , maka ($ A > 0 $ dan $ B < 0 $) atau ($A < 0 $ dan $ B > 0$).
*). Sifat pertidaksamaan pecahan :
Misalkan terdapat bilangan real $ A $ dan $ B $ :
(i). Jika $ \frac{A}{B} > 0 $ , maka ($ A > 0 $ dan $ B > 0 $) atau ($A < 0 $ dan $ B < 0$).
(ii). Jika $ \frac{A}{B} < 0 $ , maka ($ A > 0 $ dan $ B < 0 $) atau ($A < 0 $ dan $ B > 0$).
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Modifikasi yang diketahui :
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a}{b} > 1 \rightarrow \frac{a}{b} - 1 > 0 \rightarrow \frac{a-b}{b} > 0 $
-). Pertidaksamaan kedua :
$ \frac{a}{c} < -1 \rightarrow \frac{a}{c} + 1 < 0 \rightarrow \frac{a + c}{c} < 0 $
*). Kita analisa pertidaksamaannya dari bentuk yang pertama (boleh juga dari pertidaksamaan yang kedua), ada dua kemungkinan yaitu :
*). Kemungkinan pertama : untuk $ b < 0 $
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a-b}{b} > 0 \rightarrow a - b < 0 \rightarrow a < b $
artinya $ a $ dan $ b $ negatif dengan $ a < b $
-). Pertidaksamaan kedua dengan $ a < 0 $ yaitu $ \frac{a + c}{c} < 0 $
Jika $ c > 0 $ , maka $ a + c < 0 \rightarrow |a| > |c| $
Jika $ c < 0 $ , maka $ a + c > 0 $ (Salah karena $ a < 0 $ dan $ c < 0 $)
-). Dari kemungkinan pertama kita peroleh $ a < 0 $ , $ b < 0 $ , $ c > 0 $ , $ a < b $ , dan $ |a| > |c| $. Sehingga option yang memenuhi kemungkinan pertama ini hanya option (C). $ (a-c)(b-c) > 0 $ dan (E). $ abc > 0 $ .
*). Kemungkinan kedua : untuk $ b > 0 $
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a-b}{b} > 0 \rightarrow a - b > 0 \rightarrow a > b $
artinya $ a $ dan $ b $ positif dengan $ a > b $
-). Pertidaksamaan kedua dengan $ a > 0 $ yaitu $ \frac{a + c}{c} < 0 $
Jika $ c > 0 $ , maka $ a + c < 0 $ (Salah karena $ a > 0 $ dan $ c > 0 $)
Jika $ c < 0 $ , maka $ a + c > 0 \rightarrow |a| > |c| $
-). Dari kemungkinan kedua kita peroleh $ a > 0 $ , $ b > 0 $ , $ c < 0 $ , $ a > b $ , dan $ |a| > |c| $. Sehingga option yang memenuhi kemungkinan kedua ini hanya option A, B, dan C.
*). Option yang memenuhi keduanya (semuanya) adalah option C yaitu $ (a-c)(b-c) > 0 $
Jadi, yang BENAR adalah (C). $ (a-c)(b-c) > 0 . \, \heartsuit $
*). Modifikasi yang diketahui :
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a}{b} > 1 \rightarrow \frac{a}{b} - 1 > 0 \rightarrow \frac{a-b}{b} > 0 $
-). Pertidaksamaan kedua :
$ \frac{a}{c} < -1 \rightarrow \frac{a}{c} + 1 < 0 \rightarrow \frac{a + c}{c} < 0 $
*). Kita analisa pertidaksamaannya dari bentuk yang pertama (boleh juga dari pertidaksamaan yang kedua), ada dua kemungkinan yaitu :
*). Kemungkinan pertama : untuk $ b < 0 $
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a-b}{b} > 0 \rightarrow a - b < 0 \rightarrow a < b $
artinya $ a $ dan $ b $ negatif dengan $ a < b $
-). Pertidaksamaan kedua dengan $ a < 0 $ yaitu $ \frac{a + c}{c} < 0 $
Jika $ c > 0 $ , maka $ a + c < 0 \rightarrow |a| > |c| $
Jika $ c < 0 $ , maka $ a + c > 0 $ (Salah karena $ a < 0 $ dan $ c < 0 $)
-). Dari kemungkinan pertama kita peroleh $ a < 0 $ , $ b < 0 $ , $ c > 0 $ , $ a < b $ , dan $ |a| > |c| $. Sehingga option yang memenuhi kemungkinan pertama ini hanya option (C). $ (a-c)(b-c) > 0 $ dan (E). $ abc > 0 $ .
*). Kemungkinan kedua : untuk $ b > 0 $
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a-b}{b} > 0 \rightarrow a - b > 0 \rightarrow a > b $
artinya $ a $ dan $ b $ positif dengan $ a > b $
-). Pertidaksamaan kedua dengan $ a > 0 $ yaitu $ \frac{a + c}{c} < 0 $
Jika $ c > 0 $ , maka $ a + c < 0 $ (Salah karena $ a > 0 $ dan $ c > 0 $)
Jika $ c < 0 $ , maka $ a + c > 0 \rightarrow |a| > |c| $
-). Dari kemungkinan kedua kita peroleh $ a > 0 $ , $ b > 0 $ , $ c < 0 $ , $ a > b $ , dan $ |a| > |c| $. Sehingga option yang memenuhi kemungkinan kedua ini hanya option A, B, dan C.
*). Option yang memenuhi keduanya (semuanya) adalah option C yaitu $ (a-c)(b-c) > 0 $
Jadi, yang BENAR adalah (C). $ (a-c)(b-c) > 0 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.