Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers. Jika $ f(g(x)) = x + 1 $
dan $ g(x+2) = x - 4 $ , maka $ f^{-1}(2) + g^{-1}(2) = ... $
A). $ -5 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 $
A). $ -5 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Definisi di atas bisa kita kembangkan menjadi :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) \, $ atau $ \, f^{-1}(B) = A $
(Setiap pindah fungsinya kita beri invers).
Contoh :
$ f(5x + 1) = x- 4 \rightarrow f^{-1}(x-4) = 5x + 1 $
$ g(x+2) = 5 - 4x \rightarrow g^{-1}(5-4x) = x + 2 $
*). Definisi fungsi invers :
$ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1}(y) $
*). Definisi di atas bisa kita kembangkan menjadi :
$ f(A) = B \rightarrow A = f^{-1}(B) \, $ atau $ \, f^{-1}(B) = A $
(Setiap pindah fungsinya kita beri invers).
Contoh :
$ f(5x + 1) = x- 4 \rightarrow f^{-1}(x-4) = 5x + 1 $
$ g(x+2) = 5 - 4x \rightarrow g^{-1}(5-4x) = x + 2 $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ g(x+2) = x - 4 $ :
$\begin{align} g(x+2) & = x - 4 \\ g^{-1}(x-4) & = x + 2 \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ g^{-1}(2) $ , maka $ x - 4 = 2 \rightarrow x = 6 $ :
$\begin{align} x = 6 \rightarrow g^{-1}(x-4) & = x + 2 \\ g^{-1}(6-4) & = 6 + 2 \\ g^{-1}(2) & = 8 \end{align} $
*). Fungsi $ f(g(x)) = x + 1 $ :
$\begin{align} f(g(x)) & = x + 1 \\ f^{-1}(x + 1) & = g(x) \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ f^{-1}(2) $ , maka $ x + 1 = 2 \rightarrow x = 1 $ :
-). Dari bentuk $ g(x+2) = x - 4 $, agar memperoleh nilai $ g(1) $ , maka $ x + 2 = 1 \rightarrow x = -1 $
$ g(x+2) = x - 4 \rightarrow g(-1 + 2) = -1 - 5 \rightarrow g(1) = -5 $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow f^{-1}(x + 1) & = g(x) \\ f^{-1}(1 + 1) & = g(1) \\ f^{-1}( 2) & = -5 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(2) + g^{-1}(2) $ :
$\begin{align} f^{-1}(2) + g^{-1}(2) & = (-5) + 8 = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(2) + g^{-1}(2) = 3 . \, \heartsuit $
*). Fungsi $ g(x+2) = x - 4 $ :
$\begin{align} g(x+2) & = x - 4 \\ g^{-1}(x-4) & = x + 2 \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ g^{-1}(2) $ , maka $ x - 4 = 2 \rightarrow x = 6 $ :
$\begin{align} x = 6 \rightarrow g^{-1}(x-4) & = x + 2 \\ g^{-1}(6-4) & = 6 + 2 \\ g^{-1}(2) & = 8 \end{align} $
*). Fungsi $ f(g(x)) = x + 1 $ :
$\begin{align} f(g(x)) & = x + 1 \\ f^{-1}(x + 1) & = g(x) \end{align} $
-). Agar dapat nilai $ f^{-1}(2) $ , maka $ x + 1 = 2 \rightarrow x = 1 $ :
-). Dari bentuk $ g(x+2) = x - 4 $, agar memperoleh nilai $ g(1) $ , maka $ x + 2 = 1 \rightarrow x = -1 $
$ g(x+2) = x - 4 \rightarrow g(-1 + 2) = -1 - 5 \rightarrow g(1) = -5 $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow f^{-1}(x + 1) & = g(x) \\ f^{-1}(1 + 1) & = g(1) \\ f^{-1}( 2) & = -5 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f^{-1}(2) + g^{-1}(2) $ :
$\begin{align} f^{-1}(2) + g^{-1}(2) & = (-5) + 8 = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^{-1}(2) + g^{-1}(2) = 3 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.