Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ O(0,0) $ , $ A(2,0) $ , $ B(2,y) $ , $ C(0,y) $ , dan $ D(0,\frac{1}{2}y) $.
Nilai $ \displaystyle \lim_{y \to 2 } \frac{\text{keliling } \Delta BCD}{\text{keliling }
\square OABD} $ adalah ...
A). $ \frac{5+2\sqrt{5}}{5} \, $ B). $ \frac{5+\sqrt{5}}{10} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{5} \, $
D). $ \frac{5-2\sqrt{5}}{5} \, $ E). $ \frac{5 - \sqrt{5}}{10} $
A). $ \frac{5+2\sqrt{5}}{5} \, $ B). $ \frac{5+\sqrt{5}}{10} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{5} \, $
D). $ \frac{5-2\sqrt{5}}{5} \, $ E). $ \frac{5 - \sqrt{5}}{10} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep Penyelesaian Limit :
Untuk menyelesaian limit, cara yang paling mendasar adalah dengan substitusi.
$ \displaystyle \lim_{y \to a } \frac{f(y)}{g(y)} = \frac{f(a)}{g(a)} $
*). Jarak dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ yaitu :
Jarak $ = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Keliling bangun datar :
Keliling = jumlah semua sisi-sisinya.
*). Konsep Penyelesaian Limit :
Untuk menyelesaian limit, cara yang paling mendasar adalah dengan substitusi.
$ \displaystyle \lim_{y \to a } \frac{f(y)}{g(y)} = \frac{f(a)}{g(a)} $
*). Jarak dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ yaitu :
Jarak $ = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Keliling bangun datar :
Keliling = jumlah semua sisi-sisinya.
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar detailnya :
Dari gambar tersebut kita peroleh panjang sisi-sisi :
$ OA = 2 , AB = y, OD = \frac{1}{2}y, CD = \frac{1}{2} CD, BC = 2 $
$ BD = \sqrt{(2-0)^2 + (y-\frac{1}{2}y)^2} = \sqrt{ 4 + \frac{y^2}{4} } $
*). Menentukan keliling masing-masing :
$\begin{align} \text{Keliling BCD } & = BC + CD + BD \\ & = 2 + \frac{1}{2}y + \sqrt{ 4 + \frac{y^2}{4} } \\ \text{Keliling OABD } & = OA + AB + BD + OD \\ & = 2 + y + \sqrt{ 4 + \frac{y^2}{4} } + \frac{1}{2}y \\ & = 2 + \frac{3}{2}y + \sqrt{ 4 + \frac{y^2}{4} } \end{align} $
*). Menentukan hasil limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{y \to 2 } \frac{\text{keliling } BCD}{\text{keliling } OABD} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 2 } \frac{2 + \frac{1}{2}y + \sqrt{ 4 + \frac{y^2}{4} } }{ 2 + \frac{3}{2}y + \sqrt{ 4 + \frac{y^2}{4} } } \\ & = \frac{2 + \frac{1}{2}.2 + \sqrt{ 4 + \frac{2^2}{4} } }{ 2 + \frac{3}{2}.2 + \sqrt{ 4 + \frac{2^2}{4} } } \\ & = \frac{2 + 1 + \sqrt{ 4 + 1} }{ 2 + 3 + \sqrt{ 4 + 1 } } \\ & = \frac{3 + \sqrt{ 5} }{ 5 + \sqrt{5 } } \\ & = \frac{3 + \sqrt{ 5} }{ 5 + \sqrt{5 } } \times \frac{5 - \sqrt{ 5} }{ 5 - \sqrt{5 } } \\ & = \frac{15 - 3\sqrt{ 5} + 5\sqrt{ 5} - 5}{ 25 - 5} \\ & = \frac{10 + 2\sqrt{ 5}}{ 20} = \frac{5 + \sqrt{ 5}}{10} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{5 + \sqrt{ 5}}{10} . \, \heartsuit $
*). Ilustrasi gambar detailnya :
Dari gambar tersebut kita peroleh panjang sisi-sisi :
$ OA = 2 , AB = y, OD = \frac{1}{2}y, CD = \frac{1}{2} CD, BC = 2 $
$ BD = \sqrt{(2-0)^2 + (y-\frac{1}{2}y)^2} = \sqrt{ 4 + \frac{y^2}{4} } $
*). Menentukan keliling masing-masing :
$\begin{align} \text{Keliling BCD } & = BC + CD + BD \\ & = 2 + \frac{1}{2}y + \sqrt{ 4 + \frac{y^2}{4} } \\ \text{Keliling OABD } & = OA + AB + BD + OD \\ & = 2 + y + \sqrt{ 4 + \frac{y^2}{4} } + \frac{1}{2}y \\ & = 2 + \frac{3}{2}y + \sqrt{ 4 + \frac{y^2}{4} } \end{align} $
*). Menentukan hasil limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{y \to 2 } \frac{\text{keliling } BCD}{\text{keliling } OABD} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 2 } \frac{2 + \frac{1}{2}y + \sqrt{ 4 + \frac{y^2}{4} } }{ 2 + \frac{3}{2}y + \sqrt{ 4 + \frac{y^2}{4} } } \\ & = \frac{2 + \frac{1}{2}.2 + \sqrt{ 4 + \frac{2^2}{4} } }{ 2 + \frac{3}{2}.2 + \sqrt{ 4 + \frac{2^2}{4} } } \\ & = \frac{2 + 1 + \sqrt{ 4 + 1} }{ 2 + 3 + \sqrt{ 4 + 1 } } \\ & = \frac{3 + \sqrt{ 5} }{ 5 + \sqrt{5 } } \\ & = \frac{3 + \sqrt{ 5} }{ 5 + \sqrt{5 } } \times \frac{5 - \sqrt{ 5} }{ 5 - \sqrt{5 } } \\ & = \frac{15 - 3\sqrt{ 5} + 5\sqrt{ 5} - 5}{ 25 - 5} \\ & = \frac{10 + 2\sqrt{ 5}}{ 20} = \frac{5 + \sqrt{ 5}}{10} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{5 + \sqrt{ 5}}{10} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.