Pembahasan Deret UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ S_n = 3 + 5 + ... + (2n+1) $ dan $ S = 3 + 2(0,6) + 2(0,6)^2 + ... $ Salah satu nilai $ n $ yang memenuhi persamaan $ S = \frac{S_n}{2(n-2)} $ adalah ...
A). $ 10 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Deret Aritmetika :
$ S_n = \frac{n}{2}(a + u_n) $
*). Deret geometri tak hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1-r} $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ u_n = \, $ suku terakhir
$ r = \, $ rasion $ = \frac{u_2}{u_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Deret : $ S_n = 3 + 5 + ... + (2n+1) $ memiliki $ a = 3 $ dan $ u_n = (2n+1) $
*). Menentukan jumlahnya :
$\begin{align} S_n & = \frac{n}{2}(a + u_n) \\ & = \frac{n}{2}(3 + (2n+1)) \\ & = \frac{n}{2}(2n + 4) \\ & = n^2 + 2n \end{align} $
*). Deret tak hingga : $ S = 3 + 2(0,6) + 2(0,6)^2 + ... $
$ a = 2(0,6) = 1,2 $
$ r = \frac{2(0,6)^2}{2(0,6)} = 0,6 $
*). Menentukan jumlahnya :
$\begin{align} S & = 3 + 2(0,6) + 2(0,6)^2 + ... \\ S & = 3 + S_\infty \\ & = 3 + \frac{a}{1-r} \\ & = 3 + \frac{1,2}{1-0,6} \\ & = 3 + \frac{1,2}{0,4} \\ & = 3 + 3 \\ S & = 6 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ n $ :
$\begin{align} S & = \frac{S_n}{2(n-2)} \\ 6 & = \frac{n^2 + 2n}{2(n-2)} \\ 12n - 24 & = n^2 + 2n \\ n^2 - 10n + 24 & = 0 \\ (n-4)(n-6) & = 0 \\ n = 4 \vee n & = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ n = 4 \vee n = 6 $ (Option D) $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar