Soal yang Akan Dibahas
Banyak cara menyusun 3 bola merah dan 9 bola hitam dalam bentuk dalam bentuk lingkaran
sehingga minimum ada 2 bola hitam di antara 2 bola merah yang berdekatan adalah ....
A). $ 180 \times 8! \, $ B). $ 240 \times 7! \, $ C). $ 364 \times 6! \, $ D). $ 282 \times 4! \, $ E). $ 144 \times 5! $
A). $ 180 \times 8! \, $ B). $ 240 \times 7! \, $ C). $ 364 \times 6! \, $ D). $ 282 \times 4! \, $ E). $ 144 \times 5! $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan penyusunan tempat duduk menggunakan PERMUTASI karena memperhatikan URUTAN.
*). Permutasi siklis (tempat duduk melingkar)
Misalkan ada $ n $ orang duduk melingkar, maka total cara ada $ (n-1)! $
*). Pemilihan $ r $ unsur dari $ n $ unsur yang tersedia dengan memperhatikan urutan yaitu $ P_r^n $ dengan rumus : $ P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $
*). Aturan penyusunan tempat duduk menggunakan PERMUTASI karena memperhatikan URUTAN.
*). Permutasi siklis (tempat duduk melingkar)
Misalkan ada $ n $ orang duduk melingkar, maka total cara ada $ (n-1)! $
*). Pemilihan $ r $ unsur dari $ n $ unsur yang tersedia dengan memperhatikan urutan yaitu $ P_r^n $ dengan rumus : $ P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun 3 bola merah dan 9 bola hitam dalam bentuk dalam bentuk lingkaran sehingga minimum ada 2 bola hitam di antara 2 bola merah yang berdekatan. Agar kondisi ini terpenuhi, maka berikut susunan yang bisa kita tentukan yaitu :
-). Setiap bola merah kita letakkan di tengah dua bola hitam, sehingga kita blok tiga bola jadi satu susunan yaitu HMH, HMH, dan HMH. Sementara 3 bola hitam lainnya bebas untuk mengisi celah yang ada. Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
*). Menghitung cara penyusunannya :
-). Setelah kita blok seperti pada gambar, sekarang ada 6 bagian yang kita susun duduk melingkar dengan banyak cara penyusunan : $ (6-1)! = 5! $
-). Banyak cara pemilihan 6 bola hitam untuk diletakkan berdampingan dengan bola merah yaitu kita memilih 6 bola hitam dari 9 bola hitam yang tersedia yaitu sebanyak $ P_6^9 $.
$ P_6^9 = \frac{9!}{(9-6)!} = \frac{9!}{3!} = 9.8.7.6.5.4 $
*). Total cara :
$\begin{align} \text{total } & = 5! \times (9.8.7.6.5.4) \\ & = 9.5.4.(8.7.6.5!) \\ & = 180 \times 8! \end{align} $
*). Catatan :
Susunan yang bisa kita pilih agar memenuhi permintaan di soal yaitu seperti gambar berikut :
Jadi, total penyusunan sebanyak $ 180 \times 8!. \, \heartsuit $
*). Menyusun 3 bola merah dan 9 bola hitam dalam bentuk dalam bentuk lingkaran sehingga minimum ada 2 bola hitam di antara 2 bola merah yang berdekatan. Agar kondisi ini terpenuhi, maka berikut susunan yang bisa kita tentukan yaitu :
-). Setiap bola merah kita letakkan di tengah dua bola hitam, sehingga kita blok tiga bola jadi satu susunan yaitu HMH, HMH, dan HMH. Sementara 3 bola hitam lainnya bebas untuk mengisi celah yang ada. Perhatikan ilustrasi gambar berikut.
*). Menghitung cara penyusunannya :
-). Setelah kita blok seperti pada gambar, sekarang ada 6 bagian yang kita susun duduk melingkar dengan banyak cara penyusunan : $ (6-1)! = 5! $
-). Banyak cara pemilihan 6 bola hitam untuk diletakkan berdampingan dengan bola merah yaitu kita memilih 6 bola hitam dari 9 bola hitam yang tersedia yaitu sebanyak $ P_6^9 $.
$ P_6^9 = \frac{9!}{(9-6)!} = \frac{9!}{3!} = 9.8.7.6.5.4 $
*). Total cara :
$\begin{align} \text{total } & = 5! \times (9.8.7.6.5.4) \\ & = 9.5.4.(8.7.6.5!) \\ & = 180 \times 8! \end{align} $
*). Catatan :
Susunan yang bisa kita pilih agar memenuhi permintaan di soal yaitu seperti gambar berikut :
Jadi, total penyusunan sebanyak $ 180 \times 8!. \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.