Soal yang Akan Dibahas
Jika persamaan kuadrat $ x^2 - px + q = 0 $ memiliki akar yang berkebalikan dan
merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $ p - q $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -3 $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -3 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). FUngsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum/minimum saat $ f^\prime (x) = 0 $
*). Untuk cek jenis maksimum atau minimum, kita gunakan turunan ke dua :
Misalkan dari bentuk $ f^\prime (x) = 0 $ kita peroleh $ x_1 $.
Cek apakah $ x_1 $ menyebabkan $ f(x) $ maksimum atau minimum.
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) > 0 \, $ maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) = 0 \, $ maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) < 0 \, $ maka jenisnya maksimum
*). RUmus turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). FUngsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum/minimum saat $ f^\prime (x) = 0 $
*). Untuk cek jenis maksimum atau minimum, kita gunakan turunan ke dua :
Misalkan dari bentuk $ f^\prime (x) = 0 $ kita peroleh $ x_1 $.
Cek apakah $ x_1 $ menyebabkan $ f(x) $ maksimum atau minimum.
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) > 0 \, $ maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) = 0 \, $ maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) < 0 \, $ maka jenisnya maksimum
*). RUmus turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan kuadrat $ x^2 - px + q = 0 $ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif. Kita misalkan akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ x_1 = k $ dan $ x_2 = \frac{1}{k} $ (saling berkebalikan) serta $ k < 0 $ karena akar bernilai negatif.
*). Operasi akar-akar :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ k + \frac{1}{k} & = \frac{-(-p)}{1} \\ k + \frac{1}{k} & = p \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ k . \frac{1}{k} & = \frac{q}{1} \\ 1 & = q \end{align} $
Kita peroleh $ p = k + \frac{1}{k} $ dan $ q = 1 $
Sehingga $ p - q = k + \frac{1}{k} - 1 = k + k^{-1} - 1 $
Kita misalkan $ p - q = y $ , sehingga $ y = k + \frac{1}{k} - 1 = k + k^{-1} - 1 $
*). Nilai $ p - q $ akan maksimum/minimum saat $ y^\prime = 0 $ :
$\begin{align} y & = k + k^{-1} - 1 \\ y^\prime & = 1 + (-1)k^{-2} = 1 - \frac{1}{k^2} \\ y^{ \prime \prime } & = (-2). (-1)k^{-3} = \frac{2}{k^3} \\ \text{Syarat : } y^\prime & = 0 \\ 1 - \frac{1}{k^2} & = 0 \\ k^2 & = 1 \\ k & = \pm 1 \end{align} $
*). Ujia turunan kedua :
$\begin{align} k = 1 \rightarrow y^{ \prime \prime } & = \frac{2}{1^3} = 2 > 0 \, \, \text{(minimum)} \\ k = -1 \rightarrow y^{ \prime \prime } & = \frac{2}{(-1)^3} = -2 < 0 \, \, \text{(maksimum)} \end{align} $
Artinya bentuk $ y = k + \frac{1}{k} - 1 $ akan maksimum pada saat $ k = -1 $ dan ini sesuai dengan syarat yaitu $ k < 0 $.
*). Menentukan nilai maksimum $ p - q $ dengan $ k = -1 $ :
$\begin{align} p - q & = k + \frac{1}{k} - 1 \\ & = (-1) + \frac{1}{-1} - 1 \\ & = (-1) + (-1) - 1 \\ & = -3 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum $ p -q $ adalah $ -3 . \, \heartsuit $
*). Diketahui persamaan kuadrat $ x^2 - px + q = 0 $ memiliki akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif. Kita misalkan akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ x_1 = k $ dan $ x_2 = \frac{1}{k} $ (saling berkebalikan) serta $ k < 0 $ karena akar bernilai negatif.
*). Operasi akar-akar :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ k + \frac{1}{k} & = \frac{-(-p)}{1} \\ k + \frac{1}{k} & = p \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} \\ k . \frac{1}{k} & = \frac{q}{1} \\ 1 & = q \end{align} $
Kita peroleh $ p = k + \frac{1}{k} $ dan $ q = 1 $
Sehingga $ p - q = k + \frac{1}{k} - 1 = k + k^{-1} - 1 $
Kita misalkan $ p - q = y $ , sehingga $ y = k + \frac{1}{k} - 1 = k + k^{-1} - 1 $
*). Nilai $ p - q $ akan maksimum/minimum saat $ y^\prime = 0 $ :
$\begin{align} y & = k + k^{-1} - 1 \\ y^\prime & = 1 + (-1)k^{-2} = 1 - \frac{1}{k^2} \\ y^{ \prime \prime } & = (-2). (-1)k^{-3} = \frac{2}{k^3} \\ \text{Syarat : } y^\prime & = 0 \\ 1 - \frac{1}{k^2} & = 0 \\ k^2 & = 1 \\ k & = \pm 1 \end{align} $
*). Ujia turunan kedua :
$\begin{align} k = 1 \rightarrow y^{ \prime \prime } & = \frac{2}{1^3} = 2 > 0 \, \, \text{(minimum)} \\ k = -1 \rightarrow y^{ \prime \prime } & = \frac{2}{(-1)^3} = -2 < 0 \, \, \text{(maksimum)} \end{align} $
Artinya bentuk $ y = k + \frac{1}{k} - 1 $ akan maksimum pada saat $ k = -1 $ dan ini sesuai dengan syarat yaitu $ k < 0 $.
*). Menentukan nilai maksimum $ p - q $ dengan $ k = -1 $ :
$\begin{align} p - q & = k + \frac{1}{k} - 1 \\ & = (-1) + \frac{1}{-1} - 1 \\ & = (-1) + (-1) - 1 \\ & = -3 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum $ p -q $ adalah $ -3 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.