Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = (x-1)^\frac{2}{3} $ , maka ...
(1). $ f $ terdefinisi di $ x \geq 0 $
(2). $ f^\prime (2) = \frac{2}{3} $
(3). $ y = \frac{2}{3}x-\frac{1}{3} $ adalah garis singgung di $ x = 2 $
(4). $ f $ selalu mempunyai turunan di setiap titik
Jika $ f(x) = (x-1)^\frac{2}{3} $ , maka ...
(1). $ f $ terdefinisi di $ x \geq 0 $
(2). $ f^\prime (2) = \frac{2}{3} $
(3). $ y = \frac{2}{3}x-\frac{1}{3} $ adalah garis singgung di $ x = 2 $
(4). $ f $ selalu mempunyai turunan di setiap titik
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Suatu fungsi $ f(x) $ mempunyai turunan di $ x = a $ jika $ f(x) $ mempunyai nilai limit di $ x = a $.
*). Fungsi $ f(x) $ mempunyai nilai limit di $ x = a $ jika nilai limit kiri sama dengan nilai limit kanannya yaitu :
$ \displaystyle \lim_{x \to a^- } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^+ } f(x) $
*). Fungsi $ f(x) $ terdefinisi di $ x = a $ jika $ f(a) \neq \frac{b}{0} $
(penyebutnya tidak boleh nol).
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Suatu fungsi $ f(x) $ mempunyai turunan di $ x = a $ jika $ f(x) $ mempunyai nilai limit di $ x = a $.
*). Fungsi $ f(x) $ mempunyai nilai limit di $ x = a $ jika nilai limit kiri sama dengan nilai limit kanannya yaitu :
$ \displaystyle \lim_{x \to a^- } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a^+ } f(x) $
*). Fungsi $ f(x) $ terdefinisi di $ x = a $ jika $ f(a) \neq \frac{b}{0} $
(penyebutnya tidak boleh nol).
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahuui : $ f(x) = (x-1)^\frac{2}{3} $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ :
$\begin{align} f(x) & = (x-1)^\frac{2}{3} \\ f ^\prime (x) & = \frac{2}{3} . (x-1)^{\frac{2}{3} - 1} \\ & = \frac{2}{3} . (x-1)^{- \frac{1}{3} } \\ & = \frac{2}{3(x-1)^\frac{1}{3}} \end{align} $
*). Kita cek setiap pernyataan :
(1). $ f $ terdefinisi di $ x \geq 0 $ ?
$ f(x) = (x-1)^\frac{2}{3} $ , terdefinisi untuk $ x \geq 0 $ karena hasilnya tidak berbentuk $ \frac{b}{0} $
Pernyataan (1) BENAR.
(2). $ f^\prime (2) = \frac{2}{3} $ ?
$ f ^\prime (x) = \frac{2}{3(x-1)^\frac{1}{3}} $
$ f ^\prime (2) = \frac{2}{3(2-1)^\frac{1}{3}} = \frac{2}{3.1} = \frac{2}{3} $
Pernyataan (2) BENAR.
(3). $ y = \frac{2}{3}x-\frac{1}{3} $ adalah garis singgung di $ x = 2 $ ?
-). Menentukan titik singgung $ (x_1, y_1) $ :
$ x = 2 \rightarrow y = f(2) = (1-1)^\frac{2}{3} = 1 $
sehingga $ (x_1, y_1) = ( 2,1) $
-). Menentukan gradien di $ x_1 = 2 $ :
$ m = f^\prime (2) = \frac{2}{3} \, $ (dari pernyataan (2))
-). Menyusun garis singgungnya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - 1 & = \frac{2}{3}(x - 2) \\ y - 1 & = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \\ y & = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 1 \\ y & = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} + 1 \end{align} $
Pernyataan (3) BENAR.
(4). $ f $ selalu mempunyai turunan di setiap titik ?
Fungsi $ f(x) = (x-1)^\frac{2}{3} $ selalu mempunyai nilai limit untuk semua $ x $ sehingga $ f(x) $ juga mempunyai turunan untuk semua $ x $ (semua titik).
Pernyataan (4) BENAR.
Sehingga semua pernyataan BENAR, jawabannya E.
Jadi, semua pernyataan BENAR $ . \, \heartsuit $
*). Diketahuui : $ f(x) = (x-1)^\frac{2}{3} $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ :
$\begin{align} f(x) & = (x-1)^\frac{2}{3} \\ f ^\prime (x) & = \frac{2}{3} . (x-1)^{\frac{2}{3} - 1} \\ & = \frac{2}{3} . (x-1)^{- \frac{1}{3} } \\ & = \frac{2}{3(x-1)^\frac{1}{3}} \end{align} $
*). Kita cek setiap pernyataan :
(1). $ f $ terdefinisi di $ x \geq 0 $ ?
$ f(x) = (x-1)^\frac{2}{3} $ , terdefinisi untuk $ x \geq 0 $ karena hasilnya tidak berbentuk $ \frac{b}{0} $
Pernyataan (1) BENAR.
(2). $ f^\prime (2) = \frac{2}{3} $ ?
$ f ^\prime (x) = \frac{2}{3(x-1)^\frac{1}{3}} $
$ f ^\prime (2) = \frac{2}{3(2-1)^\frac{1}{3}} = \frac{2}{3.1} = \frac{2}{3} $
Pernyataan (2) BENAR.
(3). $ y = \frac{2}{3}x-\frac{1}{3} $ adalah garis singgung di $ x = 2 $ ?
-). Menentukan titik singgung $ (x_1, y_1) $ :
$ x = 2 \rightarrow y = f(2) = (1-1)^\frac{2}{3} = 1 $
sehingga $ (x_1, y_1) = ( 2,1) $
-). Menentukan gradien di $ x_1 = 2 $ :
$ m = f^\prime (2) = \frac{2}{3} \, $ (dari pernyataan (2))
-). Menyusun garis singgungnya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - 1 & = \frac{2}{3}(x - 2) \\ y - 1 & = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \\ y & = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 1 \\ y & = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} + 1 \end{align} $
Pernyataan (3) BENAR.
(4). $ f $ selalu mempunyai turunan di setiap titik ?
Fungsi $ f(x) = (x-1)^\frac{2}{3} $ selalu mempunyai nilai limit untuk semua $ x $ sehingga $ f(x) $ juga mempunyai turunan untuk semua $ x $ (semua titik).
Pernyataan (4) BENAR.
Sehingga semua pernyataan BENAR, jawabannya E.
Jadi, semua pernyataan BENAR $ . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.